Maratón de Problemas

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Jue 23 Feb, 2017 5:32 pm

Solución del 260
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Tomemos el radio de cada planeta como unidad. Sea $P$ la cápsula convexa de los centros de los planetas, y sean $P_1$,..., $P_V$ sus vértices. Es claro que podemos ignorar los planetas cuyo centro no sea un $P_i$, pues no tienen puntos invisibles para todos los demás. Si $P_i$ tiene vértices adyacentes $P_{i_1}$, $P_{i_2}$,..., $P_{i_{k_i}}$ ordenados en sentido positivo vistos desde el exterior de $P$, sea $\alpha_j= \angle P_{i_j}P_iP_{i_{j+1}}$ ($j$ módulo $k_i$). Entonces la zona invisible del planeta $i$ es un polígono esférico de ángulos $\pi-\alpha_j$, cuya área es $\sum_{j=1}^{k_i}(\pi-\alpha_j)-(k_i-2)\pi=2\pi-\sum_{j=1}^{k_i}\alpha_j.$
Ahora se deben sumar las expresiones anteriores para cada $P_i$. Si $P$ tiene $C$ caras y $A$ aristas, los términos $2\pi$ suman $2\pi V$. Para sumar los ángulos observamos que éstos se pueden agrupar por caras, y si una cara tiene $r$ lados la suma de sus ángulos es $\pi(r-2)$. Como cada arista pertenece a dos caras, la suma de estos términos es $\pi(2Ar-2C)$. Finalmente usando la fórmula de Euler $V-A+C=2$ llegamos a que la suma de las áreas invisibles es


$$2\pi V-\pi(2Ar-2C)=2\pi(V-A+C)=4\pi,$$



es decir el área de un planeta
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Vie 24 Feb, 2017 3:29 pm

261?
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Violeta » Vie 24 Feb, 2017 3:33 pm

261?

Chitón. :lol:
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Vie 24 Feb, 2017 7:07 pm

Problema 261 Un triángulo $T$ se divide en $n$ triángulos más pequeños mediante un número finito de segmentos, cuyos extremos son puntos interiores o vértices de $T$, de manera tal que en cada uno de esos puntos concurre el mismo número de segmentos. ¿Cuál es el mayor valor posible de $n$?
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Mar 14 Mar, 2017 1:04 am

En los vértices del triángulo también concurren la misma cantidad de segmentos?
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Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Mar 14 Mar, 2017 5:54 am

Sí.
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