Maratón de Problemas

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Jue 23 Feb, 2017 5:32 pm

Solución del 260
Spoiler: Mostrar
Tomemos el radio de cada planeta como unidad. Sea $P$ la cápsula convexa de los centros de los planetas, y sean $P_1$,..., $P_V$ sus vértices. Es claro que podemos ignorar los planetas cuyo centro no sea un $P_i$, pues no tienen puntos invisibles para todos los demás. Si $P_i$ tiene vértices adyacentes $P_{i_1}$, $P_{i_2}$,..., $P_{i_{k_i}}$ ordenados en sentido positivo vistos desde el exterior de $P$, sea $\alpha_j= \angle P_{i_j}P_iP_{i_{j+1}}$ ($j$ módulo $k_i$). Entonces la zona invisible del planeta $i$ es un polígono esférico de ángulos $\pi-\alpha_j$, cuya área es $\sum_{j=1}^{k_i}(\pi-\alpha_j)-(k_i-2)\pi=2\pi-\sum_{j=1}^{k_i}\alpha_j.$
Ahora se deben sumar las expresiones anteriores para cada $P_i$. Si $P$ tiene $C$ caras y $A$ aristas, los términos $2\pi$ suman $2\pi V$. Para sumar los ángulos observamos que éstos se pueden agrupar por caras, y si una cara tiene $r$ lados la suma de sus ángulos es $\pi(r-2)$. Como cada arista pertenece a dos caras, la suma de estos términos es $\pi(2Ar-2C)$. Finalmente usando la fórmula de Euler $V-A+C=2$ llegamos a que la suma de las áreas invisibles es


$$2\pi V-\pi(2Ar-2C)=2\pi(V-A+C)=4\pi,$$



es decir el área de un planeta
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
www.jhnieto.org

A Julian_Ferres le gusta este mensaje.
Avatar de Usuario
jhn
 
Mensajes: 460
Registrado: Mié 10 Oct, 2012 3:25 pm
Ubicación: Venezuela
Nivel: Otro

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Vie 24 Feb, 2017 3:29 pm

261?
Avatar de Usuario
Emerson Soriano
 
Mensajes: 753
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medals: 3
OFO - Mención OFO - Medalla de Oro OFO - Medalla de Plata

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Violeta » Vie 24 Feb, 2017 3:33 pm

261?

Chitón. :lol:
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
Avatar de Usuario
Violeta
 
Mensajes: 322
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Ubicación: Puerto Rico
Medals: 1
OFO - Mención

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Vie 24 Feb, 2017 7:07 pm

Problema 261 Un triángulo $T$ se divide en $n$ triángulos más pequeños mediante un número finito de segmentos, cuyos extremos son puntos interiores o vértices de $T$, de manera tal que en cada uno de esos puntos concurre el mismo número de segmentos. ¿Cuál es el mayor valor posible de $n$?
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
www.jhnieto.org
Avatar de Usuario
jhn
 
Mensajes: 460
Registrado: Mié 10 Oct, 2012 3:25 pm
Ubicación: Venezuela
Nivel: Otro

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor Emerson Soriano » Mar 14 Mar, 2017 1:04 am

En los vértices del triángulo también concurren la misma cantidad de segmentos?
Avatar de Usuario
Emerson Soriano
 
Mensajes: 753
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medals: 3
OFO - Mención OFO - Medalla de Oro OFO - Medalla de Plata

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Mar 14 Mar, 2017 5:54 am

Sí.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
www.jhnieto.org
Avatar de Usuario
jhn
 
Mensajes: 460
Registrado: Mié 10 Oct, 2012 3:25 pm
Ubicación: Venezuela
Nivel: Otro

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor isavl » Lun 03 Abr, 2017 10:52 pm

SOLUCION PROBLEMA 261
Spoiler: Mostrar
Sean $N$= Numero de trianglos, $A$=Aristas, $V$=vertices, $K$=Grado de cada vertice.

Tenemos, $A=\frac{K\cdot V}{2}$ , ya que cada vertice determina $K$ segmentos y cada segmento esta contado dos veces. Y tomando en cuenta a la región exterior como si fuera otro triángulo, obtenemos $N+1=\frac{2\cdot A}{3}=\frac{V\cdot K}{3}$ , ya que cada arista determina dos triangulos, y cada triangulo esta contado 3 veces.

Por la fórmula de Euler, $V-A+(N+1)=2$, ya que la fórmula toma en cuenta la region exterior.

Entonces $N+1=2+A-V=2+ \frac{V\cdot K}{2} + V= \frac{V\cdot K}{3}$, De donde $12=V\cdot(6-K)$
Como $V$ es el numero de vertices, es siempre positivo, por lo tanto
$6-K>0$, entonces $6>K$ por lo tanto, el máximo grado de cada vértice puede ser $5$, si $K=5 \Rightarrow V=12 \Rightarrow N+1=\frac{12\cdot 5}{3}=20$, entonces
el mayor valor posible de $N$ es $19$
EJEMPLO N=19
EJEMPLO.jpg

PROBLEMA 262
Sean $R$ y $r$ el circumradio y el inradio de un triángulo $ABC$ respectivamente, demostrar $R \ge 2r$
No tiene los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Última edición por isavl el Mar 04 Abr, 2017 6:06 pm, editado 1 vez en total

isavl
 
Mensajes: 8
Registrado: Lun 03 Abr, 2017 10:14 pm
Medals: 1
FOFO Pascua 2017 - Mención
Nivel: Otro

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor jhn » Mar 04 Abr, 2017 7:05 am

Hola isavi, te faltaría mostrar con un ejemplo que el máximo $N=19$ efectivamente se alcanza.
Bueno, listo, ahora la solución del 261 está completa.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
www.jhnieto.org
Avatar de Usuario
jhn
 
Mensajes: 460
Registrado: Mié 10 Oct, 2012 3:25 pm
Ubicación: Venezuela
Nivel: Otro

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor MateoCV » Mié 05 Abr, 2017 8:01 pm

Spoiler: Mostrar
Sea $S$ el área del triángulo y $a, b, c$ sus lados. Sabemos que $S=\frac{abc}{4R}$ y $S=\frac{(a+b+c)r}{2}$ lo que eso mismo que $R=\frac{abc}{4S}$ y $r=\frac{2S}{a+b+c}$ y reemplazando esto en la desigualdad que queremos probar nos queda que $(a+b+c)abc\geq 16S^2$ Usando que $S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}$ (Formula de Herón) La desiguladad a probar se reduce a demostrar $abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
Llamamos $x=a+b-c$
$y=a-b+c$
$z=-a+b+c$
Y como son los lados de un triángulo sabemos que $x,y,z>0$
Luego tenemos que $a=\frac{x+y}{2}$
$b=\frac{x+z}{2}$
$c=\frac{y+z}{2}$
Y la desigualdad se transforma a $(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$ y como $(x+y)\geq 2\sqrt{x} \sqrt{y}$ por AG-GM y de forma similar para $y,z$ y para $z,x$ uniendo estas tres desigualdades llegamos a la buscada


Spoiler: Mostrar
Otra forma de probar $(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$ con $x,y,z>0$ es usar que $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$ y probar que $(x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz$ pero como $xy+yz+zx=xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ si reemplazamos esto arriba la desigualdad se reduce a AM-HM
$2^{74207281}-1$ es primo
Avatar de Usuario
MateoCV
 
Mensajes: 180
Registrado: Vie 18 Dic, 2015 12:35 am
Ubicación: Córdoba
Medals: 4
OFO - Medalla de Bronce FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2017 - Medalla
Nivel: 2

Re: Maratón de Problemas

UNREAD_POSTpor MateoCV » Mié 05 Abr, 2017 8:30 pm

Problema 263
Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n!$ es múltiplo de $n^2+1$
$2^{74207281}-1$ es primo
Avatar de Usuario
MateoCV
 
Mensajes: 180
Registrado: Vie 18 Dic, 2015 12:35 am
Ubicación: Córdoba
Medals: 4
OFO - Medalla de Bronce FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2017 - Medalla
Nivel: 2

AnteriorSiguiente

Volver a Problemas

¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 3 invitados

cron