Maratón de Problemas

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Jue 23 Feb, 2017 5:32 pm

Solución del 260
Spoiler: mostrar
Tomemos el radio de cada planeta como unidad. Sea [math] la cápsula convexa de los centros de los planetas, y sean [math],..., [math] sus vértices. Es claro que podemos ignorar los planetas cuyo centro no sea un [math], pues no tienen puntos invisibles para todos los demás. Si [math] tiene vértices adyacentes [math], [math],..., [math] ordenados en sentido positivo vistos desde el exterior de [math], sea [math] ([math] módulo [math]). Entonces la zona invisible del planeta [math] es un polígono esférico de ángulos [math], cuya área es [math]
Ahora se deben sumar las expresiones anteriores para cada [math]. Si [math] tiene [math] caras y [math] aristas, los términos [math] suman [math]. Para sumar los ángulos observamos que éstos se pueden agrupar por caras, y si una cara tiene [math] lados la suma de sus ángulos es [math]. Como cada arista pertenece a dos caras, la suma de estos términos es [math]. Finalmente usando la fórmula de Euler [math] llegamos a que la suma de las áreas invisibles es
[math]

es decir el área de un planeta
1  
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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 24 Feb, 2017 3:29 pm

261?

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Violeta

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Violeta » Vie 24 Feb, 2017 3:33 pm

261?

Chitón. :lol:
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Vie 24 Feb, 2017 7:07 pm

Problema 261 Un triángulo [math] se divide en [math] triángulos más pequeños mediante un número finito de segmentos, cuyos extremos son puntos interiores o vértices de [math], de manera tal que en cada uno de esos puntos concurre el mismo número de segmentos. ¿Cuál es el mayor valor posible de [math]?
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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 14 Mar, 2017 1:04 am

En los vértices del triángulo también concurren la misma cantidad de segmentos?

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mar 14 Mar, 2017 5:54 am

Sí.
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isavl

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por isavl » Lun 03 Abr, 2017 10:52 pm

SOLUCION PROBLEMA 261
Spoiler: mostrar
Sean [math]= Numero de trianglos, [math]=Aristas, [math]=vertices, [math]=Grado de cada vertice.

Tenemos, [math] , ya que cada vertice determina [math] segmentos y cada segmento esta contado dos veces. Y tomando en cuenta a la región exterior como si fuera otro triángulo, obtenemos [math] , ya que cada arista determina dos triangulos, y cada triangulo esta contado 3 veces.

Por la fórmula de Euler, [math], ya que la fórmula toma en cuenta la region exterior.

Entonces [math], De donde [math]
Como [math] es el numero de vertices, es siempre positivo, por lo tanto
[math], entonces [math] por lo tanto, el máximo grado de cada vértice puede ser [math], si [math], entonces
el mayor valor posible de [math] es [math]
EJEMPLO N=19
EJEMPLO.jpg
PROBLEMA 262
Sean [math] y [math] el circumradio y el inradio de un triángulo [math] respectivamente, demostrar [math]
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Última edición por isavl el Mar 04 Abr, 2017 6:06 pm, editado 1 vez en total.

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mar 04 Abr, 2017 7:05 am

Hola isavi, te faltaría mostrar con un ejemplo que el máximo [math] efectivamente se alcanza.
Bueno, listo, ahora la solución del 261 está completa.
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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 05 Abr, 2017 8:01 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] el área del triángulo y [math] sus lados. Sabemos que [math] y [math] lo que eso mismo que [math] y [math] y reemplazando esto en la desigualdad que queremos probar nos queda que [math] Usando que [math] (Formula de Herón) La desiguladad a probar se reduce a demostrar [math]
Llamamos [math]
[math]
[math]
Y como son los lados de un triángulo sabemos que [math]
Luego tenemos que [math]
[math]
[math]
Y la desigualdad se transforma a [math] y como [math] por AG-GM y de forma similar para [math] y para [math] uniendo estas tres desigualdades llegamos a la buscada
Spoiler: mostrar
Otra forma de probar [math] con [math] es usar que [math] y probar que [math] pero como [math] si reemplazamos esto arriba la desigualdad se reduce a AM-HM
$2^{77232917}-1$ es primo

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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 05 Abr, 2017 8:30 pm

Problema 263
Demostrar que existen infinitos enteros positivos [math] tales que [math] es múltiplo de [math]
$2^{77232917}-1$ es primo

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