Maratón de Problemas

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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mié 05 Abr, 2017 9:32 pm

Solución al Problema 263.
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Hacemos [math]. Entonces [math]. Haciendo [math], tenemos que [math] es múltiplo de [math]. Entonces, [math]. Con [math] suficientemente grande, es claro que esos tres factores son distintos y además son menores que [math]. Por lo tanto, [math] es divisible por el producto de esos tres factores.

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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV » Jue 06 Abr, 2017 4:57 pm

264?
[math] es primo

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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 07 Abr, 2017 3:01 am

Problema 264.
Sea [math] el conjunto de todos los enteros positivos [math] tales que [math] divide a [math]. Determine si el conjinto [math] es finito o infinito.

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Sab 08 Abr, 2017 9:35 pm

Solución 264
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Es finito. Supongamos que [math] divide a [math]. Emtonces cada factor primo [math] de [math] satisface [math], y puede aparecer en [math] con exponente a lo sumo [math] Si [math] entonces [math] y [math] para [math], es decir que la potencia de [math] que divide a [math] es a lo sumo [math]. Por otra parte es fácil ver que el producto de los primos entre [math] y [math] cumple
[math]

Luego [math]
[math]

y [math] Pero [math] es un infinito de orden superior a cualquier exponencial [math], luego para [math] suficientemente grande la desigualdad anterior no se cumple y [math] no divide a [math].
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Dom 09 Abr, 2017 3:52 pm

265?

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Dom 09 Abr, 2017 4:53 pm

Problema 265
Los ciclistas 1,2,...,n comienzan una carrera en ese orden (1 delante de 2, 2 delante de 3, etc.). Durante la carrera cada ciclista adelanta a exactamente uno de sus compañeros. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden quedar los ciclistas al terminar la carrera?
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mar 18 Abr, 2017 7:51 am

Aclaraciones al problema 265

1) La pista de carreras es recta, y no circular como algunos podrían pensar.

2) La situación del problema es imposible para [math] (pues 1 no podría adelantar a nadie).

3) Pongamos [math] para indicar que el ciclista [math] adelanta al [math]. Entonces para [math]
la única posibilidad es que [math] y luego [math], quedando en el orden 1,2.

4) Para [math] hay dos posibilidades:
[math], [math] y [math], quedando en el orden 2, 1, 3.
[math], [math] y [math], quedando en el orden 1, 3, 2.

En este caso el primer adelanto no puede ser [math], pues sólo podría seguir [math] y 1 no podría adelantar a nadie.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por isavl » Dom 23 Abr, 2017 8:45 pm

SOLUCION PROBLEMA 265
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Si [math] tenemos que los órdenes posibles para los corredores son: [math], [math], [math], y [math], entonces tenemos [math] órdenes posibles, Definimos para [math], [math] como la cantidad de órdenes posibles al finalizar una carrera con [math] corredores, suponemos que [math], lo demostraremos por inducción fuerte.

El caso base para [math], y [math] funciona asi que supondremos [math] y que que se cumple para [math]. Probaremos que se cumple en una carrera de [math] corredores.

Tenemos [math] casos, si el corredor [math] queda de último, o si el corredor [math] queda de penultimo. Vemos que no hay mas casos ya que éste no puede ser adelantado por ningun corredor que el mismo no haya adelantado previamente, y solo puede adelantar a un corredor.

[math] Si el corredor [math] queda de penultimo, entonces adelantó a algún corredor que haya quedado de último en la carrera con [math] jugadores, y por hipotesis tenemos [math] órdenes posibles en este caso.

[math] Si el corredor [math] queda de último, entonces, si este adelanta a un corredor [math], este corredor [math] no puede haber adelantado a nadie previamente (para poder adelantar a [math]), y tiene que haber sido adelantado sucesivamente por los corredores [math]. Delante de [math] quedan [math] corredores, que no pueden ser adelantados por nadie [math], entonces sus órdenes posibles son [math]. Y como [math] puede ser cualquier número del [math] al [math] excepto el [math], entonces los órdenes posibles para este caso son [math]

Por lo tanto el total de órdenes posibles es [math]. Y el resultado queda demostrado por inducción. [math]
PROBLEMA 266
Sean [math]. Demostrar
[math]

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 24 Abr, 2017 2:20 pm

Solución 266
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Por AM-GM tenemos [math] que es lo mismo que [math] (1)
Por AG-GM con [math] y [math] (que son positivos) tenemos que [math] (2)
Juntando (1) y (2) tenemos [math] (3)
HAciendo AM-GM otra vez tenemos que [math]
Pero por (3) [math] y uniendo estas dos últimas desigualdades obtenemos la desigualdad buscada
Problema 267
Sean [math] reales positivos tales que [math]. Probar que:
[math]
[math] es primo

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 25 Abr, 2017 6:44 pm

Solución al Problema 267.
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Lo que nos piden probar es equivalente a:
[math]

es decir, piden probar que
[math]


Como [math], [math], [math] son reales positivos menores que [math], entonces existen reales positivos [math], [math], [math] tales que [math], [math],
[math]. Así, [math]. Reemplazando estas nuevas variables, vemos que el equivalente de lo que nos piden probar es
[math]

En efecto, notemos que
[math]
que es a donde se quería llegar.
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