Maratón de Problemas

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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Jue 24 Ago, 2017 5:17 pm

creo que en vez de [math] debe ser [math]. Otra pregunta más, ¿[math] puede ser igual a [math]?

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Jue 24 Ago, 2017 6:06 pm

Gracias, ya lo corregí. Sí, [math] puede ser igual a [math]. La suma es sobre todas las parejas [math] , [math], tales que [math].
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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Violeta

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Violeta » Sab 26 Ago, 2017 12:23 am

La suma es sobre todas las parejas [math] con producto menor o igual que [math]? Que condicion mas... ugh...
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Emerson Soriano

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Sab 26 Ago, 2017 10:40 am

Nada más.

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MateoCV

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MateoCV » Mié 11 Oct, 2017 2:13 pm

No les parece que es hora de cambiarlo? Este está hace mucho timepo
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[math] es primo

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mié 15 Nov, 2017 11:21 am

Solución 292
Spoiler: mostrar
Por la desigualdad aritmético-geométrica $a_i^2\sqrt{i/j}+a_j^2\sqrt{j/i}\ge 2a_ia_j$, luego

$ 2\sum_{1\le ij\le n} a_ia_j \le \sum_{1\le ij\le n} a_i^2\sqrt{i/j} + \sum_{1\le ij\le n}a_j^2\sqrt{j/i} $

$ = \sum_{1\le ij\le n} a_i^2\sqrt{i/j} + \sum_{1\le ij\le n} a_i^2\sqrt{i/j}
= 2\sum_{1\le ij\le n} a_i^2\sqrt{i/j} $

$ = \sum_{1=1}^n a_i^2\sqrt{i}\sum_{1\le j\le n/i} \sqrt{1/j}.$

Pero
$$ \frac{1}{\sqrt{j}}<\frac{2}{\sqrt{j}+\sqrt{j-1}}=2(\sqrt{j}-\sqrt{j-1}), $$
luego $\sum_{1\le j\le n/i} \sqrt{1/j}<2\sqrt{n/i}$ y finalmente

$ 2\sum_{1\le ij\le n} a_ia_j <2\sum_{1=1}^ n a_i^2\sqrt{n} = 2\sqrt{n}$
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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mié 15 Nov, 2017 11:26 am

Problema 293
Se tienen 2017 cajas numeradas del 1 al 2017. Cada una de ellas contiene tantos objetos como indica su números. En un movimiento, se permite transferir todos los objetos de una caja no vacía a cualquier otra caja. Determine el mínimo número de movimientos necesarios para llegar a una distribución en la que todas las cajas no vacías tengan el mismo número de objetos.
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Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Jue 16 Nov, 2017 11:54 pm

Solución 293
Spoiler: mostrar
Veamos que en cada movimiento la cantidad de cajas no vacías disminuye en $1$ (si se mueven los objetos de una caja a otra no vacía) o se mantiene constante (si se mueven los objetos a una caja vacía).
Entonces, si se realizan menos de $1008$ movimientos, la cantidad de cajas no vacías va a ser de al menos $1010$, y como en total hay $\frac{2017\times 2018}{2}=2035153$ tiene que haber una caja con a lo sumo $2016$ objetos (ya que $\frac{2035153}{1010}<2017$), pero tenemos que siempre va a haber una caja con al menos $2017$ objetos (ya que los $2017$ objetos que originalmente estaban en la caja $2017$ siempre van a estar juntos), así que no sería posible cumplir el objetivo.
Pero si se realizan $1008$ movimientos sí sería posible, ya que se pueden mover los objetos de la caja $n$ a la caja $2017-n$, con $1\leq n\leq 1008$, y así tener $1009$ cajas con $2017$ objetos.
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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Vie 17 Nov, 2017 12:57 pm

Te toca proponer.
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Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Vie 17 Nov, 2017 1:38 pm

Problema 294
Brian quiere colocar damas sobre un tablero de ajedrez para que toda casilla esté ocupada o amenazada por alguna de las damas. Determinar la mínima cantidad de damas que debe colocar Brian.
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