Maratón de Problemas

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Dom 31 Dic, 2017 5:04 pm

Problema 299
Considere un polígono regular cun un número impar de vértices. Cada vértice se pinta de amarillo, rojo o verde de modo que haya una cantidad impar de vértices de cada color. Probar que hay un triángulo isósceles con sus tres vértices de colores diferentes.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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davisbeckam18

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por davisbeckam18 » Mar 02 Ene, 2018 7:01 pm

Solución 299
Primero
Spoiler: mostrar
Es casi igual a la C3 2016. Igual dejo la soluión.
Ahora sí
Spoiler: mostrar
Sea $x_i$ el número de triángulos isósceles cuyos vértices son exactamente de $i$ colores distintos. Procedamos por contradicción.
Entonces $x_3=0$. Contemos de dos maneras distintas el número de parejas $(m,n)$, donde $m$ es un triángulo isósceles y $n$ es un lado del triángulo con vértices de distinto color (es decir, $n$ es una arista con vértices de distinto color formando parte del triángulo). Es claro que los triángulos isósceles contados en $x_1$ no forman parte de alguna pareja. Además cada triángulo contado en $x_2$ aporta cada uno con dos parejas ya que cada uno tienen dos lados con vértices de distinto color, por lo que hay $2x_2$ (que es par) de estas parejas. Pero por otro lado sean $a, v, r$ la cantidad de vértices de color amarillo, rojo y verde. Entonces el número de aristas con vértices de distinto color es $ab+bc+ca$ (como $a,b,c$ son impares, entonces $ab+bc+ca$ es impar). Pero cada arista forma parte de $3$ o $1$ triángulo. ( Lo primero es porque cuando la arista es la base del triángulo o uno de los lados iguales del triángulo isósceles; y lo segundo se da en el caso de que $n$ sea múltiplo de 3 y la arista divida a la circunferencia circunscrita al triángulo en un arco de $120^{\circ}$, entonces forma parte de solo un triángulo isósceles que a su vez es equilátero. Entonces el número de parejas es $3x+y= 2x + ab+bc+ca$ (que es impar). Tenemos, con las dos formas de contar, que un número par es igual a un impar. Contradicción.
.

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jhn
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mié 03 Ene, 2018 9:54 am

Bien, proponé otro.
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davisbeckam18

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por davisbeckam18 » Mié 03 Ene, 2018 2:03 pm

Problema 300
La secuencia es dada por las relaciones $a_1=7$ y $a_{n+1}=MCD(n+1,a_n)+a_n$ para todo $n\geq 1$. Probar que para cualquier entero positivo $n$ el número $a_{n+1} - a_n$ es un número primo o uno.

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Vie 05 Ene, 2018 6:14 am

Solución 300
¡Bonito y sorprendente resultado!
Spoiler: mostrar
Sea $d_n=a_n-a_{n-1}$ (para $n\ge 2$). Haciendo una tabla de $a_n$ y $d_n$, observamos que los primeros valores con $d_n\ne 1$ son:

$n\quad a_n\quad d_n$

5 $\quad$ 15 $\quad$ 5

$6 \quad 18 \quad 3$

$11 \quad 33 \quad 11 $

$23 \quad 69 \quad 23 $

$24 \quad 72 \quad 3 $

$47 \quad 141 \quad 47$

$ 48 \quad 144 \quad 3$

$50 \quad 150 \quad 5$

$ 51 \quad 153 \quad 3 $

Se observa que para estos valores $a_n=3n$. Probaremos que en general si $a_n=3n$ y si $n'=n+k$ el menor entero mayor que $n$ para el cual $d_{n'}>1$, entonces $d_{n'}$ es primo y $a_{n'}=3n'$. Con esto e inducción quedará probado que los $d_n$ son primos o 1.

Es claro que para $0\le j\le k-1$ se tiene $a_{n+j}=a_n+j=3n+j$, y que $d_{n'}=mcd(n+k,a_{n+k-1})=mcd(n+k,3n+k-1)=mcd(n+k,2n-1)$. Además $d_{n'}\mid 2(n+k)-(2n-1)=2k+1$. Sea $p$ el menor factor primo de $2n-1$. Es claro que $p$ es impar, y $p\le d_{n'}\le 2k+1$. Luego $r=(p-1)/2\le k$.
Veamos que de hecho $r=k$. En efecto,
$d_{n+r}=mcd(n+r,a_{n+r-1})= mcd(n+r,3n+r-1)= mcd(n+r,2n-1)=mcd(2(n+r),2n-1)= mcd(2n+p-1,2n-1)= mcd(p,2n-1)= p$, y como $1\le r\le k$ y $d_{n+r}>1$ se concluye que $r=k$. Entonces $d_{n'}=p$ es primo y $a_{n'}=a_{n+k-1}+p=3n+k-1+2k+1=3(n+k)=3n'$. Listo.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por davisbeckam18 » Vie 05 Ene, 2018 11:42 am

¡Todo bien! Propón otro.

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Vie 05 Ene, 2018 5:42 pm

Problema 301
Se tiene un conjunto finito de cuadrados cuyas áreas suman 4. Pruebe que los cuadrados se pueden acomodar de modo tal que cubran por completo un cuadrado de lado 1.
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