Maratón de Problemas

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Sab 14 Abr, 2018 3:24 am

Te toca proponer.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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¿hola?

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por ¿hola? » Sab 14 Abr, 2018 10:53 am

Problema 314
Raimu y Flavio hacen una apuesta. Flavio dice que peude pintar $313$ casillas en un tablero de $314$ por $314$ de forma tal que si una casilla (que no esta pintada) es adyacente (comparte un lado) con dos o mas casillas pintadas, esta se pinta. Este proceso lo puede repetir hasta tener todo el tablero pintado. Raimu no le cree. Determinar quien gana la apuesta.
Última edición por ¿hola? el Sab 14 Abr, 2018 2:42 pm, editado 2 veces en total.
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Yes, he who

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 14 Abr, 2018 11:32 am

Solución 314:
Spoiler: mostrar
Gana Raimu

Si una casilla es adyacente a dos casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas se mantiene igual.
Si una casilla es adyacente a tres casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas decrece en $2$ unidades.
Si una casilla es adyacente a cuatro casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas decrece en $4$ unidades.

Por lo tanto, el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas nunca crece. Si todo el tablero estuviera pintado, el perímetro sería $314\times 4$, con $313$ casillas pintadas, el perímetro es a lo sumo $313\times 4<314\times 4$. Entonces Raimu gana.

Comentario: La figura formada por las casillas pintadas puede ser disjunta.
Última edición por Gianni De Rico el Sab 14 Abr, 2018 12:46 pm, editado 1 vez en total.
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[math]

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 14 Abr, 2018 12:45 pm

Problema 315:

Hallar todas las funciones polinómicas $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que

$f(xy+f(x)+f(y))=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+f(x+y)-1$

Para todos $x,y$ reales.
[math]

Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Sab 05 May, 2018 8:47 pm

Solución 315
Spoiler: mostrar
Siendo $gr(f)\in N_0$ el grado de $f$, tenemos que $f(x)=\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i$, siendo $a_0$, $a_1$, $...$, $a_n$ los coeficientes de $f$
Tomando $y=0$ $\forall x\in R$ tenemos que:
$f(f(0)+f(x))=f(0)f(x)+f(0)+2f(x)-1$
$f(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)=(2+a_0)\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i+a_0-1$
$\sum_{i=0}^{gr(f)}a_i(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)^i=\sum_{i=0}^{gr(f)}(2+a_0)a_ix^i+a_0-1$
Ahora bien, del primer lado de la igualdad tenemos un polinomio de grado $gr(f)^2$, y del segundo lado tenemos un polinomio de grado $gr(f)$ (si $a_0\neq -2$) o de grado $0$ (si $a_0=-2$) entonces tenemos que $gr(f)^2=gr(f)\implies gr(f)=0\vee gr(f)=1$ (si $a_0\neq -2$) o que $gr(f)^2=0\implies gr(f)=0$ (si $a_0=-2$), es decir, $f$ es constante o lineal.

Como $f$ es lineal o constante, tenemos que $f(x)=mx+h$ $\forall x\in R$, con $m, h\in R$, así que:
$f(xy+mx+my+2h)=(mx+h)(my+h)+mx+my+m(x+y)+3h-1$
$mxy+m^2x+m^2y+2mh+h=m^2xy+mhx+mhy+h^2+2m(x+y)+3h-1$
$mxy+m^2(x+y)+2mh=m^2xy+(2m+mh)(x+y)+h^2+2h-1$
$(m-m^2)xy+(m^2-2m-mh)(x+y)=h^2+2h-1-2mh$
Tomando $x=y=0$ obtenemos $h^2+2h-1-2mh=0$, y si $x=1\wedge y=-1$ entonces $h^2+2h-1-2mh=m^2-m=0$, por lo tanto $m=0\vee m=1$.
Si $m=0$ tenemos que $f$ es constante y que $h^2+2h-1=0\implies h=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$, entonces $f(x)=-1-\sqrt{2}\vee f(x)=\sqrt{2}-1$ $\forall x\in R$.
Si $m=1$ tenemos que $(-1-h)(x+y)=h^2-1=0$, entonces debe ser $h=-1$ (ya que sino $-1-h\neq 0$ y puede ser $x+y\neq 0$), entonces $f(x)=x-1$ $\forall x\in R$.

Por lo tanto concluimos que las funciones que cumplen son $f(x)=-1-\sqrt{2}$, $f(x)=\sqrt{2}-1$ y $f(x)=x-1$ $\forall x\in R$
Última edición por Matías el Mar 19 Jun, 2018 8:12 pm, editado 1 vez en total.
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Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Sab 05 May, 2018 10:51 pm

Problema 316
Para cada número natural $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores naturales de $n$.
Hallar todos los números naturales $n$ tales que $d(n)\geq\sqrt{n}$.
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sfreghy
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por sfreghy » Dom 10 Jun, 2018 11:00 pm

Matías escribió:
Sab 05 May, 2018 8:47 pm
Solución 315

Siendo $gr(f)\in N_0$ el grado de $f$, tenemos que $f(x)=\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i$, siendo $a_0$, $a_1$, $...$, $a_n$ los coeficientes de $f$
Tomando $y=0$ $\forall x\in R$ tenemos que:
$f(f(0)+f(x))=f(0)f(x)+f(0)+2f(x)-1$
$f(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)=(2+a_0)\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i+a_0-1$
$\sum_{i=0}^{gr(f)}a_i(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)^i=\sum_{i=0}^{gr(f)}(2+a_0)a_ix^i+a_0-1$
Ahora bien, del primer lado de la igualdad tenemos un polinomio de grado $gr(f)^2$ y del segundo lado tenemos un polinomio de grado $gr(f)$, entonces tenemos que $gr(f)=gr(f)^2\implies gr(f)=0\vee gr(f)=1$, es decir, $f$ es constante o lineal.
sólo añadir que falta analizar el caso $a_0=-2$, aunque eso no invalide la conclusión acerca del grado del polinomio
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