Maratón de Problemas

[jhn]

Te toca proponer.

[¿hola?]

Problema 314
Raimu y Flavio hacen una apuesta. Flavio dice que peude pintar $313$ casillas en un tablero de $314$ por $314$ de forma tal que si una casilla (que no esta pintada) es adyacente (comparte un lado) con dos o mas casillas pintadas, esta se pinta. Este proceso lo puede repetir hasta tener todo el tablero pintado. Raimu no le cree. Determinar quien gana la apuesta.

[Gianni De Rico]

Solución 314:

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Gana Raimu

Si una casilla es adyacente a dos casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas se mantiene igual.
Si una casilla es adyacente a tres casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas decrece en $2$ unidades.
Si una casilla es adyacente a cuatro casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas decrece en $4$ unidades.

Por lo tanto, el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas nunca crece. Si todo el tablero estuviera pintado, el perímetro sería $314\times 4$, con $313$ casillas pintadas, el perímetro es a lo sumo $313\times 4<314\times 4$. Entonces Raimu gana.

Comentario: La figura formada por las casillas pintadas puede ser disjunta.

[Gianni De Rico]

Problema 315:

Hallar todas las funciones polinómicas $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que

$f(xy+f(x)+f(y))=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+f(x+y)-1$

Para todos $x,y$ reales.

[Matías]

Solución 315

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Siendo $gr(f)\in N_0$ el grado de $f$, tenemos que $f(x)=\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i$, siendo $a_0$, $a_1$, $...$, $a_n$ los coeficientes de $f$
Tomando $y=0$ $\forall x\in R$ tenemos que:
$f(f(0)+f(x))=f(0)f(x)+f(0)+2f(x)-1$
$f(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)=(2+a_0)\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i+a_0-1$
$\sum_{i=0}^{gr(f)}a_i(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)^i=\sum_{i=0}^{gr(f)}(2+a_0)a_ix^i+a_0-1$
Ahora bien, del primer lado de la igualdad tenemos un polinomio de grado $gr(f)^2$, y del segundo lado tenemos un polinomio de grado $gr(f)$ (si $a_0\neq -2$) o de grado $0$ (si $a_0=-2$) entonces tenemos que $gr(f)^2=gr(f)\implies gr(f)=0\vee gr(f)=1$ (si $a_0\neq -2$) o que $gr(f)^2=0\implies gr(f)=0$ (si $a_0=-2$), es decir, $f$ es constante o lineal.

Como $f$ es lineal o constante, tenemos que $f(x)=mx+h$ $\forall x\in R$, con $m, h\in R$, así que:
$f(xy+mx+my+2h)=(mx+h)(my+h)+mx+my+m(x+y)+3h-1$
$mxy+m^2x+m^2y+2mh+h=m^2xy+mhx+mhy+h^2+2m(x+y)+3h-1$
$mxy+m^2(x+y)+2mh=m^2xy+(2m+mh)(x+y)+h^2+2h-1$
$(m-m^2)xy+(m^2-2m-mh)(x+y)=h^2+2h-1-2mh$
Tomando $x=y=0$ obtenemos $h^2+2h-1-2mh=0$, y si $x=1\wedge y=-1$ entonces $h^2+2h-1-2mh=m^2-m=0$, por lo tanto $m=0\vee m=1$.
Si $m=0$ tenemos que $f$ es constante y que $h^2+2h-1=0\implies h=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$, entonces $f(x)=-1-\sqrt{2}\vee f(x)=\sqrt{2}-1$ $\forall x\in R$.
Si $m=1$ tenemos que $(-1-h)(x+y)=h^2-1=0$, entonces debe ser $h=-1$ (ya que sino $-1-h\neq 0$ y puede ser $x+y\neq 0$), entonces $f(x)=x-1$ $\forall x\in R$.

Por lo tanto concluimos que las funciones que cumplen son $f(x)=-1-\sqrt{2}$, $f(x)=\sqrt{2}-1$ y $f(x)=x-1$ $\forall x\in R$

[Matías]

Problema 316
Para cada número natural $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores naturales de $n$.
Hallar todos los números naturales $n$ tales que $d(n)\geq\sqrt{n}$.

[sfreghy]

Solución 315

Siendo $gr(f)\in N_0$ el grado de $f$, tenemos que $f(x)=\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i$, siendo $a_0$, $a_1$, $...$, $a_n$ los coeficientes de $f$
Tomando $y=0$ $\forall x\in R$ tenemos que:
$f(f(0)+f(x))=f(0)f(x)+f(0)+2f(x)-1$
$f(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)=(2+a_0)\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i+a_0-1$
$\sum_{i=0}^{gr(f)}a_i(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)^i=\sum_{i=0}^{gr(f)}(2+a_0)a_ix^i+a_0-1$
Ahora bien, del primer lado de la igualdad tenemos un polinomio de grado $gr(f)^2$ y del segundo lado tenemos un polinomio de grado $gr(f)$, entonces tenemos que $gr(f)=gr(f)^2\implies gr(f)=0\vee gr(f)=1$, es decir, $f$ es constante o lineal.

sólo añadir que falta analizar el caso $a_0=-2$, aunque eso no invalide la conclusión acerca del grado del polinomio