Maratón de Problemas

[jhn]

Te toca proponer.

[¿hola?]

Problema 314
Raimu y Flavio hacen una apuesta. Flavio dice que peude pintar $313$ casillas en un tablero de $314$ por $314$ de forma tal que si una casilla (que no esta pintada) es adyacente (comparte un lado) con dos o mas casillas pintadas, esta se pinta. Este proceso lo puede repetir hasta tener todo el tablero pintado. Raimu no le cree. Determinar quien gana la apuesta.

[Gianni De Rico]

Solución 314:

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Gana Raimu

Si una casilla es adyacente a dos casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas se mantiene igual.
Si una casilla es adyacente a tres casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas decrece en $2$ unidades.
Si una casilla es adyacente a cuatro casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas decrece en $4$ unidades.

Por lo tanto, el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas nunca crece. Si todo el tablero estuviera pintado, el perímetro sería $314\times 4$, con $313$ casillas pintadas, el perímetro es a lo sumo $313\times 4<314\times 4$. Entonces Raimu gana.

Comentario: La figura formada por las casillas pintadas puede ser disjunta.

[Gianni De Rico]

Problema 315:

Hallar todas las funciones polinómicas $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que

$f(xy+f(x)+f(y))=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+f(x+y)-1$

Para todos $x,y$ reales.

[Matías]

Solución 315

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Siendo $gr(f)\in N_0$ el grado de $f$, tenemos que $f(x)=\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i$, siendo $a_0$, $a_1$, $...$, $a_n$ los coeficientes de $f$
Tomando $y=0$ $\forall x\in R$ tenemos que:
$f(f(0)+f(x))=f(0)f(x)+f(0)+2f(x)-1$
$f(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)=(2+a_0)\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i+a_0-1$
$\sum_{i=0}^{gr(f)}a_i(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)^i=\sum_{i=0}^{gr(f)}(2+a_0)a_ix^i+a_0-1$
Ahora bien, del primer lado de la igualdad tenemos un polinomio de grado $gr(f)^2$, y del segundo lado tenemos un polinomio de grado $gr(f)$ (si $a_0\neq -2$) o de grado $0$ (si $a_0=-2$) entonces tenemos que $gr(f)^2=gr(f)\implies gr(f)=0\vee gr(f)=1$ (si $a_0\neq -2$) o que $gr(f)^2=0\implies gr(f)=0$ (si $a_0=-2$), es decir, $f$ es constante o lineal.

Como $f$ es lineal o constante, tenemos que $f(x)=mx+h$ $\forall x\in R$, con $m, h\in R$, así que:
$f(xy+mx+my+2h)=(mx+h)(my+h)+mx+my+m(x+y)+3h-1$
$mxy+m^2x+m^2y+2mh+h=m^2xy+mhx+mhy+h^2+2m(x+y)+3h-1$
$mxy+m^2(x+y)+2mh=m^2xy+(2m+mh)(x+y)+h^2+2h-1$
$(m-m^2)xy+(m^2-2m-mh)(x+y)=h^2+2h-1-2mh$
Tomando $x=y=0$ obtenemos $h^2+2h-1-2mh=0$, y si $x=1\wedge y=-1$ entonces $h^2+2h-1-2mh=m^2-m=0$, por lo tanto $m=0\vee m=1$.
Si $m=0$ tenemos que $f$ es constante y que $h^2+2h-1=0\implies h=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$, entonces $f(x)=-1-\sqrt{2}\vee f(x)=\sqrt{2}-1$ $\forall x\in R$.
Si $m=1$ tenemos que $(-1-h)(x+y)=h^2-1=0$, entonces debe ser $h=-1$ (ya que sino $-1-h\neq 0$ y puede ser $x+y\neq 0$), entonces $f(x)=x-1$ $\forall x\in R$.

Por lo tanto concluimos que las funciones que cumplen son $f(x)=-1-\sqrt{2}$, $f(x)=\sqrt{2}-1$ y $f(x)=x-1$ $\forall x\in R$

[Matías]

Problema 316
Para cada número natural $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores naturales de $n$.
Hallar todos los números naturales $n$ tales que $d(n)\geq\sqrt{n}$.

[sfreghy]

Solución 315

Siendo $gr(f)\in N_0$ el grado de $f$, tenemos que $f(x)=\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i$, siendo $a_0$, $a_1$, $...$, $a_n$ los coeficientes de $f$
Tomando $y=0$ $\forall x\in R$ tenemos que:
$f(f(0)+f(x))=f(0)f(x)+f(0)+2f(x)-1$
$f(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)=(2+a_0)\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i+a_0-1$
$\sum_{i=0}^{gr(f)}a_i(a_0+\sum_{i=0}^{gr(f)}a_ix^i)^i=\sum_{i=0}^{gr(f)}(2+a_0)a_ix^i+a_0-1$
Ahora bien, del primer lado de la igualdad tenemos un polinomio de grado $gr(f)^2$ y del segundo lado tenemos un polinomio de grado $gr(f)$, entonces tenemos que $gr(f)=gr(f)^2\implies gr(f)=0\vee gr(f)=1$, es decir, $f$ es constante o lineal.

sólo añadir que falta analizar el caso $a_0=-2$, aunque eso no invalide la conclusión acerca del grado del polinomio

[jhn]

Solución 316

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Si $n=p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ es la descomposición en primos de $n$, con $p_1<\cdots<p_k$, entonces $d(n)=(a_1+1)\cdots(a_k+1)$. Sea $b\ge 3/2$. La función $f(j)=b^j/(j+1)$ es creciente para $j=1,2,3,\ldots$. En efecto $f(j+1)/f(j)=b(j+1)/(j+2)\ge 2b/3\ge 1$. Por lo tanto $\sqrt{p^j}/(j+1)$ es creciente si $p\ge 3$, y su mínimo es $\sqrt{p}/2$. Para $p=2$ se tiene que $\sqrt{2^j}/(j+1)$ es creciente para $j\ge 2$, y su mínimo es $2/3$ ($\sqrt{2}/2>\sqrt{2^2}/3<\sqrt{2^3}/4<\cdots$).

Si $2\nmid n$ entonces $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\ge 3^{a_1}5^{a_2}\cdots\ge \frac{3}{4}(a_1+1)^2\frac{5}{4}(a_2+1)^2\cdots=d(n)^2(\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdots)$ y como $\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{4}>1$ resulta que $k\le 2$. Si $2\mid n$ entonces $n\ge 2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots\ge d(n)^2(\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdots)$ y como $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{4}\cdot \frac{11}{4}>1$ resulta que $k\le 5$.

Lo que queda es hallar todos los $n$ con 4 o menos factores primos que cumplen la condición, lo cual es un poco fastidioso pero se puede hacer. Son 54 números, a saber:

1,

con un solo factor primo: 2, $2^2$, $2^3$, $2^4$, $2^5$, $3^2$,

con dos factores primos: $2\cdot 3$, $2^2\cdot 3$, $2^3\cdot 3$, $2^4\cdot 3$, $2^5\cdot 3$, $2^6\cdot 3$, $2\cdot 3^2$, $2^2\cdot 3^2$, $2^3\cdot 3^2$, $2^4\cdot 3^2$, $2^5\cdot 3^2$, $2^6\cdot 3^2$, $2\cdot 3^3$, $2^2\cdot 3^3$, $2^3\cdot 3^3$, $2\cdot 5$, $2^2\cdot 5$, $2^3\cdot 5$, $2^4\cdot 5$, $2\cdot 7$, $2^2\cdot 7$, $2^3\cdot 7$, $3\cdot 5$,

con tres factores primos: $2\cdot 3\cdot 5$, $2^2\cdot 3\cdot 5$, $2^3\cdot 3\cdot 5$, $2^4\cdot 3\cdot 5$, $2^5\cdot 3\cdot 5$, $2^2\cdot 3\cdot 5^2$, $2\cdot 3\cdot 7$, $2^2\cdot 3\cdot 7$, $2^3\cdot 3\cdot 7$, $2^4\cdot 3\cdot 7$, $2^2\cdot 3\cdot 11$, $2\cdot 3^2\cdot 5$, $2^2\cdot 3^2\cdot 5$, $2^3\cdot 3^2\cdot 5$, $2^4\cdot 3^2\cdot 5$, $2\cdot 3^2\cdot 7$, $2^2\cdot 3^2\cdot 7$, $2^3\cdot 3^2\cdot 7$, $2^2\cdot 3^3\cdot 5$, $2^2\cdot 5\cdot 7$,

con cuatro factores primos: $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$, $2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$, $2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$,
$2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$.

O sea, en orden:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 72, 80, 84, 90, 96, 108, 120, 126, 132, 140, 144, 168, 180, 192, 210, 216, 240, 252, 288, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 720, 840, 1260.

[Violeta]

Solución 316

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Si $n=p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ es la descomposición en primos de $n$, con $p_1<\cdots<p_k$, entonces $d(n)=(a_1+1)\cdots(a_k+1)$. Sea $b\ge 3/2$. La función $f(j)=b^j/(j+1)$ es creciente para $j=1,2,3,\ldots$. En efecto $f(j+1)/f(j)=b(j+1)/(j+2)\ge 2b/3\ge 1$. Por lo tanto $\sqrt{p^j}/(j+1)$ es creciente si $p\ge 3$, y su mínimo es $\sqrt{p}/2$. Para $p=2$ se tiene que $\sqrt{2^j}/(j+1)$ es creciente para $j\ge 2$, y su mínimo es $2/3$ ($\sqrt{2}/2>\sqrt{2^2}/3<\sqrt{2^3}/4<\cdots$).

Si $2\nmid n$ entonces $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\ge 3^{a_1}5^{a_2}\cdots\ge \frac{3}{4}(a_1+1)^2\frac{5}{4}(a_2+1)^2\cdots=d(n)^2(\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdots)$ y como $\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{4}>1$ resulta que $k\le 2$. Si $2\mid n$ entonces $n\ge 2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\cdots\ge d(n)^2(\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdots)$ y como $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{4}\cdot \frac{11}{4}>1$ resulta que $k\le 5$.

Lo que queda es hallar todos los $n$ con 4 o menos factores primos que cumplen la condición, lo cual es un poco fastidioso pero se puede hacer. Son 54 números, a saber:

1,

con un solo factor primo: 2, $2^2$, $2^3$, $2^4$, $2^5$, $3^2$,

con dos factores primos: $2\cdot 3$, $2^2\cdot 3$, $2^3\cdot 3$, $2^4\cdot 3$, $2^5\cdot 3$, $2^6\cdot 3$, $2\cdot 3^2$, $2^2\cdot 3^2$, $2^3\cdot 3^2$, $2^4\cdot 3^2$, $2^5\cdot 3^2$, $2^6\cdot 3^2$, $2\cdot 3^3$, $2^2\cdot 3^3$, $2^3\cdot 3^3$, $2\cdot 5$, $2^2\cdot 5$, $2^3\cdot 5$, $2^4\cdot 5$, $2\cdot 7$, $2^2\cdot 7$, $2^3\cdot 7$, $3\cdot 5$,

con tres factores primos: $2\cdot 3\cdot 5$, $2^2\cdot 3\cdot 5$, $2^3\cdot 3\cdot 5$, $2^4\cdot 3\cdot 5$, $2^5\cdot 3\cdot 5$, $2^2\cdot 3\cdot 5^2$, $2\cdot 3\cdot 7$, $2^2\cdot 3\cdot 7$, $2^3\cdot 3\cdot 7$, $2^4\cdot 3\cdot 7$, $2^2\cdot 3\cdot 11$, $2\cdot 3^2\cdot 5$, $2^2\cdot 3^2\cdot 5$, $2^3\cdot 3^2\cdot 5$, $2^4\cdot 3^2\cdot 5$, $2\cdot 3^2\cdot 7$, $2^2\cdot 3^2\cdot 7$, $2^3\cdot 3^2\cdot 7$, $2^2\cdot 3^3\cdot 5$, $2^2\cdot 5\cdot 7$,

con cuatro factores primos: $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$, $2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$, $2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$,
$2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$.

O sea, en orden:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 72, 80, 84, 90, 96, 108, 120, 126, 132, 140, 144, 168, 180, 192, 210, 216, 240, 252, 288, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 720, 840, 1260.

La idea del problema es bastante básica, pero hay tantos casos que considerar que nunca se me dieron las ganas de escribir una solución.

Aplaudo tu perseverancia

[jhn]

Problema 317
Cada uno de los $2n(n+1)$ segmentos que son lados de alguna casilla de un tablero de $n\times n$, siendo $n$ un entero positivo impar, se pinta de rojo o de azul. Se sabe que hay a lo sumo $n^2$ segmentos rojos. Pruebe que alguna casilla tiene al menos tres lados azules.