Maratón de Problemas

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Sab 14 Abr, 2018 3:24 am

Te toca proponer.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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¿hola?

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por ¿hola? » Sab 14 Abr, 2018 10:53 am

Problema 314
Raimu y Flavio hacen una apuesta. Flavio dice que peude pintar $313$ casillas en un tablero de $314$ por $314$ de forma tal que si una casilla (que no esta pintada) es adyacente (comparte un lado) con dos o mas casillas pintadas, esta se pinta. Este proceso lo puede repetir hasta tener todo el tablero pintado. Raimu no le cree. Determinar quien gana la apuesta.
Última edición por ¿hola? el Sab 14 Abr, 2018 2:42 pm, editado 2 veces en total.
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Yes, he who

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 14 Abr, 2018 11:32 am

Solución 314:
Spoiler: mostrar
Gana Raimu

Si una casilla es adyacente a dos casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas se mantiene igual.
Si una casilla es adyacente a tres casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por casillas pintadas decrece en $2$ unidades.
Si una casilla es adyacente a cuatro casillas pintadas, entonces al pintarla el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas decrece en $4$ unidades.

Por lo tanto, el perímetro de la figura formada por las casillas pintadas nunca crece. Si todo el tablero estuviera pintado, el perímetro sería $314\times 4$, con $313$ casillas pintadas, el perímetro es a lo sumo $313\times 4<314\times 4$. Entonces Raimu gana.

Comentario: La figura formada por las casillas pintadas puede ser disjunta.
Última edición por Gianni De Rico el Sab 14 Abr, 2018 12:46 pm, editado 1 vez en total.
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[math]

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 14 Abr, 2018 12:45 pm

Problema 315:

Hallar todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que

$f(xy+f(x)+f(y))=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+f(x+y)-1$

Para todos $x,y$ reales.
[math]

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