Maratón de Problemas

Matías

OFO - Medalla de Bronce FOFO Pascua 2019 - Medalla OFO - Medalla de Plata FOFO 8 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 175
Registrado: Mar 06 Oct, 2015 7:59 pm
Medallas: 7
Nivel: 3

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Vie 18 Ene, 2019 7:55 pm

Problema 324

¿Es posible llenar un tablero de $18\times 18$ con fichas de $1\times 4$ o $4\times 1$, sin huecos ni superposiciones?

facumotta

OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial
Mensajes: 7
Registrado: Sab 20 Ene, 2018 9:34 pm
Medallas: 3
Nivel: 2

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por facumotta » Sab 19 Ene, 2019 8:18 pm

Spoiler: mostrar
Pintamos el tablero de la siguiente manera.
324.png
Esto nos permitirá que las fichas completen siempre una casilla con cada número.
De esta manera contamos la cantidad de casillas con número $1$ , $2$ , $3$ y $4$ de las ultimas dos filas ya que las de arriba es obvio que hay la misma cantidad de casillas de cada "color". Así podemos contar $9$ veces el número $1$ , $10$ veces el número $2$ , $9$ veces el número $3$ y $8$ veces el número $4$.
Esto implica que la cantidad de casillas de cada color no es la misma, por lo que es imposible completar el tablero, ya que cada ficha tapaba una casilla de cada color.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
2  

facumotta

OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial
Mensajes: 7
Registrado: Sab 20 Ene, 2018 9:34 pm
Medallas: 3
Nivel: 2

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por facumotta » Sab 19 Ene, 2019 8:38 pm

Problema 325
Determina todos los triángulos rectángulos que tienen lados de longitudes números enteros y tales que su área es igual a su perímetro.

Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 409
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 5
Ubicación: Puerto Rico

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Violeta » Sab 19 Ene, 2019 11:37 pm

Solución 325:
Spoiler: mostrar
Es sabido que todos los lados $(a,b,c)$ de un triángulo rectángulo son de la forma $(ku^2 - kv^2, 2kuv, ku^2 + kv^2)$, para algunos enteros $k,u,v$

Luego, la ecuación que queremos resolver es $a+b+c = \frac{ab}{2}$ o semejantemente, $2u^2 + 2uv = (u^2-v^2)uvk$

Seguimos simplificando, y da $2 = (u-v)vk$, que es facil de resolver, pues exactamente uno de $u-v, v, k$ debe ser $2$ y los demás $1$. Las soluciones son: $(u,v,k) = (3,1,1) ; (3,2,1) ; (2,1,2)$ que corresponden a los triángulos rectángulos: $(8,6,10); (5,12,13)$ y estos son los únicos.

Nota: La tripla (2,1,2) corresponde a (6,8,10) que ya estaba incluida.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 992
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 29 Ene, 2019 1:08 am

Problema nuevo?
[math]

Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 409
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 5
Ubicación: Puerto Rico

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 29 Ene, 2019 10:32 am

Problema 326
Laura tiene un candado de combinación muy peculiar. Si quiere mover una de las ruedas un espacio en alguna dirección, debe mover otra rueda un espacio, en esa misma dirección. (Por ejemplo, si los números en las ruedas son 1,2,3,4, Ana no se cambiar el 4 a 5 sin mover otro número hacia adelante un espacio, por ejemplo: 1,2,4,5).

i) Determinar si Laura puede ir de $0000$ a $2018$.
ii) Determinar si Laura puede ir de $0000$ a $1234$.

Nota: Las ruedas contienen los numeros $0,1,2, \ldots ,9$. Si le damos una vuelta hacia adelante a una rueda con el 9, aparece el 0.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

MiguelKalinowski

OFO - Medalla de Bronce FOFO Pascua 2019 - Mención
Mensajes: 8
Registrado: Jue 18 May, 2017 9:09 pm
Medallas: 2
Nivel: 2

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MiguelKalinowski » Mar 29 Ene, 2019 1:12 pm

Solución
Spoiler: mostrar
Primero notemos que no se puede formar $2018$
Esto es debido a que solo se pueden formar números cuya suma de dígitos sea par, ya que empezamos con un número cuya suma es par y en cada paso podemos sumar $+1 +1 =2$ o restar $-1 -1 = -2$ Sí tenemos en una rueda $9$ y en la otra $x$ y les sumamos $+1 +1$ la suma de los dígitos sé matendra par ya que $-9 +1 = 8$.
Sí tenemos en una rueda $9$ y en la otra $9$ la suma de los dígitos disminuirá en $18$.
Por lo tanto solo podremos formar números cuya suma de dígitos sea par y como $2 + 0 + 1 + 8 = 11$ no se puede formar $2018$
Ahora veamos qué pasa con $1234$
Haciendo la secuencia:
$+0+0+1+1$
$+0+0+1+1$
$+0+0+1+1$
$+1+1+0+0$
$+0+1+0+1$
Es posible llegar a $1234$ por lo tanto el problema está resuelto

Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 409
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 5
Ubicación: Puerto Rico

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 29 Ene, 2019 1:16 pm

MiguelKalinowski escribió:
Mar 29 Ene, 2019 1:12 pm
Solución
Spoiler: mostrar
Primero notemos que no se puede formar $2018$
Esto es debido a que solo se pueden formar números cuya suma de dígitos sea par, ya que empezamos con un número cuya suma es par y en cada paso podemos sumar $+1 +1 =2$ o restar $-1 -1 = -2$ Sí tenemos en una rueda $9$ y en la otra $x$ y les sumamos $+1 +1$ la suma de los dígitos sé matendra par ya que $-9 +1 = 8$.
Sí tenemos en una rueda $9$ y en la otra $9$ la suma de los dígitos disminuirá en $18$.
Por lo tanto solo podremos formar números cuya suma de dígitos sea par y como $2 + 0 + 1 + 8 = 11$ no se puede formar $2018$
Ahora veamos qué pasa con $1234$
Haciendo la secuencia:
$+0+0+1+1$
$+0+0+1+1$
$+0+0+1+1$
$+1+1+0+0$
$+0+1+0+1$
Es posible llegar a $1234$ por lo tanto el problema está resuelto
Está correcto. Te toca somitir.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

MiguelKalinowski

OFO - Medalla de Bronce FOFO Pascua 2019 - Mención
Mensajes: 8
Registrado: Jue 18 May, 2017 9:09 pm
Medallas: 2
Nivel: 2

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por MiguelKalinowski » Mar 29 Ene, 2019 1:31 pm

Problema 327
Se tiene un pentágono de papel $ABCDE$ de lados $AB, BC, CD, DE $ y $EA$, tal que $BC=CD=DE,B\hat{C}D=C\hat{D}E=B\hat{A}E=90°$ y $AB=AE.$
Mostrar que hay dos maneras distintas de dividir el pentágono en tres partes, mediante dos cortes rectos, de modo tal que con los tres pedazos se arma, sin huecos ni superposiciones, un triángulo rectángulo e isósceles. Para cada manera, explicar porqué al reacomodar convenientemente los tres pedazos se obtiene efectivamente un triángulo rectángulo e isósceles.

ACLARACIÓN: Dos divisiones en tres pedazos son distintas si hay por lo menos una pieza de las divisiones que no se puede hacer coincidir con ninguna de las tres piezas de la otra división, ni siquiera girándola o dándola vuelta.

Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Mención
Mensajes: 89
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 3
Nivel: 1

Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Monazo » Vie 08 Feb, 2019 9:16 pm

Hola!!
Spoiler: mostrar
D07DAFA7-960A-40D0-ADEC-143BAF91FB70.jpeg
3262E4DE-14D3-494A-BA64-4A08A6B76C4C.jpeg
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.

Responder