Maratón de Problemas

Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Vie 15 Feb, 2019 12:20 pm

Problema 333

¿Cuáles números son múltiplos de $333$ en la sucesión $1$, $11$, $111$, $1111$, $\ldots$?

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Vladislao

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 16 Feb, 2019 12:10 am

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Infinitos.

Llamemosle $r_k$ al $k$-ésimo término de la sucesión, i.e., $r_k = \frac{10^k-1}{9}$. Notar que $r_k \equiv 0 \pmod{333}$ si y sólo si $10^k-1 \equiv 0 \pmod{2997}$. Ahora bien, como $10$ es coprimo con $2997$, por el Teorema de Euler, tomando cualquier $k$ que sea un múltiplo de $\varphi(2997)$, estamos hechos.
Problema 334

Sean $x_1<\ldots<x_n$ enteros positivos. Demostrar que se pueden elegir $\lceil \frac{n}{3}\rceil$ de esos números de modo que no hay una terna $x_i<x_j<x_k$ entre los elegidos de modo que $x_i+x_j=x_k$.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 16 Feb, 2019 12:47 am

Vladislao escribió:
Sab 16 Feb, 2019 12:10 am
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Infinitos.
Ojo
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Pregunta "¿Cuáles?", no "¿Cuántos?".
Solución 333
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Sea $1_n$ el número formado por $n$ números $1$. Vemos que $333=3^2\cdot 37$, luego $9\mid 333\mid 1_n$, es decir $1_n\equiv 0(9)$, pero $n\equiv \underbrace{1+1+\ldots +1+1}_{n}\equiv 1_n\equiv 0(9)$, de donde si $1_n$ es múltiplo de $333$ entonces $n$ es múltiplo de $9$.
Ahora sea $k\in \mathbb{N}$, tenemos que $1_{9k}=111\cdot 10^{9k-3}+111\cdot 10^{9k-6}+\ldots +111\cdot 10^6+111\cdot 10^3+111$, pero $111=3\times 37$, por lo que $37\mid 1_{9k}$, y por la congruencia anterior tenemos $9\mid 1_{9k}$, como $9$ y $37$ son coprimos, tenemos que $333=9\cdot 37\mid 1_{9k}$.
Entonces $1_n$ es múltiplo de $333$ si y sólo si $n$ es múltiplo de $9$.
Vladislao escribió:
Sab 16 Feb, 2019 12:10 am
Problema 334

Sean $x_1<\ldots<x_n$ enteros positivos. Demostrar que se pueden elegir $\lceil \frac{n}{3}\rceil$ de esos números de modo que no hay una terna $x_i<x_j<x_k$ entre los elegidos de modo que $x_i+x_j=x_k$.
6  
[math]

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