Maratón de Problemas

Eduardo aragon

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Eduardo aragon » Sab 17 Ago, 2019 11:46 pm

etiquetamos en la tabla de $8x8$
A,B,C,D,E,F,G,H
H,A,B,C,D,E,F,G,
G,H,A,B,C,D,E,F
F,G,H,A,B,C,D,E,
E,F,G,H,A,B,C,D,
D,E,F,G,H,A,B,C
C,D,E,F,G,H,A,B
B,C,D,E,F,G,H,A
(no se como enviar imagenes jejejje)
en vez de colocar casillas negras o blancas, colocaremos 1 o 0 respectivamente
diremos que $x(A)$ es la suma de todas las casillas con 1's y 0's que estan en las casillas de A por ejemplo si solo la esquina superior izquierda esta pintada entonces $x(A)=1$ y $x(B)=0$
notemos que cualquier operacion afectara a todas las letras y que aplicando solo una operacion $x(A)$ aumentara o disminuira en 1 (obviamente esto ocurre tambien con $x(B)$, $x(C)$, etc.)
de aqui podemos ver una invariante:
el residuo de $x(A)-x(B)$ en $mod2$ esto es porque al hacer la operacion la paridad de $x(A)$ y $x(B)$ cambia de par a impar o viceversa, de aqui es facil ver que en $mod 2$ su residuo no cambia (basta ver que $par-par=impar-impar$ y otro caso mas)

luego:
a) supongamos que es posible
como una esquina esta pintada entonces $x(A)=1$ y $x(B)=x(C)=x(D)=...=x(H)=0$ y para el tablero requerrido seria $x(A)=X(B)=X(C)...=x(H)=8$ de esto cualquier diferencia en mod 2 seria 0 pero vemos que al comienzo hay diferencias en mod 2 igual a 1 como $x(A)-x(B)$ contradiccion

b)por lo anterior visto todas las diferencias del tablero requerido en mod 2 son 0, entoces al comienzo debe ser tambien asi. Como $x(A)\geq 1$
entonces $x(B)\geq 1,x(C)\geq 1,...,x(H)\geq 1$ y sumando seria que el tablero del comienzo es mayor o igual que 8 y un ejemplo seria pintar toda la primera fila que claramente es posible mediante operaciones realizar lo pedido. luego como minimo es necesario pintar de negro 7 casillas

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Gianni De Rico

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 06 Sep, 2019 8:43 pm

Esto lleva demasiado tiempo inactivo, así que pongo un problema nuevo para revivirlo un poco

Problema 337
Santi y Cristina juegan en una mesa redonda al siguiente juego:
Sobre el borde de la mesa hay $99$ huecos, que forman los vértices de un polígono regular de $99$ lados. Se tienen bolitas de color rojo o azul, una cantidad ilimitada de bolitas de cada color. Comienza Cristina, que coloca una bolita en uno de los huecos, luego, alternadamente, cada jugador coloca una bolita en un hueco adyacente a otro que haya sido ocupado en alguno de los turnos anteriores. El juego termina cuando todos los huecos están ocupados.
Si al finalizar el juego hay $3$ bolitas de un mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero, gana Santi. En otro caso, gana Cristina.

Decidir si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora. Si la respuesta es sí, dar una estrategia para ese jugador y demostrar que es ganadora. Si la respuesta es no, explicar por qué ningún jugador tiene una estrategia ganadora.
[math]

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