Maratón de Problemas

Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Dom 22 Dic, 2019 8:31 pm

Solución 340
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Los estudiantes pueden ejecutar la siguiente estrategia:
Cada uno de ellos le responde al profesor que la cantidad de aprobados será la cantidad de alumnos que aprobarían si el profesor lo reprueba a él y aprueba a todos los alumnos que le siguen.
Dicho de otra forma, el n-ésimo alumno le responde al profesor 100 - n + la cantidad de alumnos aprobados hasta ese momento.
De esta forma, si el profesor no los aprobó a todos entonces el último alumno al que reprobó dijo la respuesta correcta, ya que el profesor efectivamente lo reprobó a él y aprobó a todos los alumnos que le siguieron.

Matías

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías » Dom 22 Dic, 2019 8:43 pm

Problema 341

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales tales que $abc=1$. Demostrar que
$$a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$$

ignacioc
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por ignacioc » Lun 23 Dic, 2019 1:03 am

Solución al 341
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$abc=1$
$a^{1/3}b^{1/3}c^{1/3}=1$
Queremos ver entonces que
$a^{2}+b^{2}+c^{2} >= a^{1/3}b^{1/3}c^{1/3}(a+b+c)$
Como $(2,0,0)$ mayoriza a $(4/3,1/3,1/3)$, aplicando Muirhead estamos.

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Turko Arias

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 23 Dic, 2019 8:34 pm

Permiso, vengo a dejar una solución al Problema 341 un poco menos degenerada para que los padres no se horroricen con las cosas que leen sus hijos en internet:
Spoiler: mostrar
Primero saquémonos la molestia de reales, y trabajemos con positivos:
$a+b+c \leq |a+b+c| \leq |a|+|b|+|c|$, luego, si probamos que $|a|+|b|+|c| \leq a^2+b^2+c^2$ ganamos, por lo que, hagamos como si fueran reales positivos así no tengo que andar metiendo los símbolos de valor absoluto.
$a+b+c =(a+b+c)\sqrt[3]{abc}$ ya que $abc=1$. Pero por $AM-GM$, $\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}$, por lo que $a+b+c \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Pero por otro lado, por $AM-QM$ tenemos que $\frac{a+b+c}{3} \leq \sqrt{ \frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$, por lo que $\frac{(a+b+c)^2}{9}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$, de donde $a+b+c \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\leq a^2+b^2+c^2$ QED
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Turko Arias

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 23 Dic, 2019 8:43 pm

Ya que estamos, tiro una desigualdad yo también

Problema 342

Sean $m$ y $n$ enteros positivos, probar que:
$\frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} < \frac{m!}{m^m} \frac{n!}{n^n}$

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mar 24 Dic, 2019 9:52 am

Solución 342
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$(m+n)^{m+n}=\sum\limits_{j=0}^{m+n} \binom{m+n}{j}m^{m+n-j}n^j
>\binom{m+n}{n}m^{m}n^n$, de donde $\frac{(m+n)^{m+n}}{m^{m}n^n}>\binom{m+n}{n}=\frac{(m+n)!}{m!n!}$.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.

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jhn

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por jhn » Mar 24 Dic, 2019 11:36 am

Problema 343
Se tiene un mazo de barajas francesas (palos $\diamondsuit$, $\heartsuit$, $\spadesuit$, $\clubsuit$ y números del 1 al 13 en cada palo). Probar que para cualquier partición de las 52 cartas en 13 conjuntos $S_1$, $S_2$,..., $S_{13}$ de 4 cartas cada uno, existe una partición correspondiente $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ en 4 conjuntos de 13 cartas cada uno, tal que cada bloque $C_i$ ($1\le i\le 4$) satisface:

(1) $C_i$ tiene una carta de $S_j$ para $1\le j \le 13$, y

(2) todas las cartas en $C_i$ tienen números diferentes.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Elsa Muray » Dom 19 Ene, 2020 4:31 am

jhn escribió:
Mar 24 Dic, 2019 9:52 am
Solución 342
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$(m+n)^{m+n}=\sum\limits_{j=0}^{m+n} \binom{m+n}{j}m^{m+n-j}n^j
>\binom{m+n}{n}m^{m}n^n$, de donde $\frac{(m+n)^{m+n}}{m^{m}n^n}>\binom{m+n}{n}=\frac{(m+n)!}{m!n!}$.
Que aburrido eres, la combinatoria es poesía en su estado más puro... Es la línea difusa entre la matemática y la literatura, y hay que tratarla como tal
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Supongamos que tenemos dos lenguajes, el lenguaje $M$-atemático y el lenguaje $N$-atemático. En en lenguaje $M$-atemático hay $m$ letras distintas, en el lenguaje $N$-atemático hay $n$ letras distintas, las letras de ambos lenguajes son todas distintas entre sí. Un día, el poderoso pueblo de OMAland decide unificar ambos lenguajes, pero sin olvidar sus raíces. El lenguaje $MN$-atemático consiste de $m+n$ letras, las $m$ del primer lenguaje y las $n$ del segundo lenguaje. Consideremos las palabras del nuevo lenguaje de longitud $m+n$ que tienen exactamente $m$ letras del primer lenguaje y $n$ letras del segundo lenguaje, y digamos que son palabras binacionales... Claramente esta cantidad es $\binom{m+n}{n}m^{m}n^n$. Por otro lado, la cantidad total de palabras del nuevo lenguaje de longitud $m+n$ es $(m+n)^{m+n}$. Por lo que, como cada palabra binacional es una palabra de longitud $m+n$, tenemos que $(m+n)^{m+n} \geq \binom{m+n}{n}m^{m}n^n$. Pero notemos que una palabra formada por $m+n$ letras del primer lenguaje, es una palabra de longitud $m+n$ pero no es binacional, por lo que hay al menos una palabra de longitud $m+n$ que no es binacional, y por ende $(m+n)^{m+n} > \binom{m+n}{n}m^{m}n^n$ como pedía el enunciado.
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