Maratón de Problemas
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Fran2001
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Re: Maratón de Problemas
Solución 366:
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
https://www.youtube.com/watch?v=7ydlVCj94x4
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Fran2001
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Re: Maratón de Problemas
Problema 367:
Hay $2n$ personas sentadas alrededor de una mesa redonda, jugando al psicólogo.
Como no se pueden decir las reglas de este juego, vamos a inventar otro. Supongamos que estas personas tienen en total $m$ precintos.
Puden pasarse los precintos siempre y cuando sigan las siguientes reglas:
a) Cada persona solo puede pasarle precintos a sus vecinos.
b) Cada vez que alguien pasa un precinto, debe tirar otro.
Supongamos que Emi es una de las personas que está jugando.
Como está re manija, quiere terminar el juego teniendo sí o sí un precinto.
Hallar el menor $m$ tal que, sin importar cómo estén distribuidos los precintos al comienzo, hay una estrategia que nos asegura que Emi reciba al menos uno.
Hay $2n$ personas sentadas alrededor de una mesa redonda, jugando al psicólogo.
Como no se pueden decir las reglas de este juego, vamos a inventar otro. Supongamos que estas personas tienen en total $m$ precintos.
Puden pasarse los precintos siempre y cuando sigan las siguientes reglas:
a) Cada persona solo puede pasarle precintos a sus vecinos.
b) Cada vez que alguien pasa un precinto, debe tirar otro.
Supongamos que Emi es una de las personas que está jugando.
Como está re manija, quiere terminar el juego teniendo sí o sí un precinto.
Hallar el menor $m$ tal que, sin importar cómo estén distribuidos los precintos al comienzo, hay una estrategia que nos asegura que Emi reciba al menos uno.
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
https://www.youtube.com/watch?v=7ydlVCj94x4
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Re: Maratón de Problemas
Llamamos a un par de enteros positivos $a$ y $b$ "generadores de cuadrado", si $ab+1$ es un cuadrado perfecto. Determinar para cada $n$ entero positivo si es posible dividir el conjunto $\{1,2,\dots,2n \}$ en $n$ parejas de "generadores de cuadrados".
El Diego es del Lobo! Y del Lobo no se va!
Re: Maratón de Problemas
Problema 368:
En la Ciudad de La Plata, el Intendente está pensando en remodelar su ciudad construyendo algunas plazas. Como bien es sabido, La Plata es una ciudad cuadrada y el Intendente quiere que todas las plazas también sean cuadradas (los lados de cada cuadrado son calles transitables, los bordes de la ciudad también son transitables); y además, al Intendente le gustaría que las plazas no se superpongan y que cubran toda el área de la ciudad (es decir, que no queden huecos sin cubrir). El Arquitecto Mayor, luego de escuchar el proyecto, le dice que para que el trazado sea eficiente, se necesita que se cumpla la siguiente condición: "no puede haber ningún recorrido con forma de cuadrado (a través de calles transitables) en cuyo interior haya más de una plaza; a menos que el recorrido bordee toda la Ciudad". Al Turko, que está muy atento a todas las noticias de su amada Ciudad, le preocupa muchísimo saber cuántas plazas van a quedar después de la remodelación. Determinar todas las posibles cantidades de plazas en las que se puede partir la Ciudad para que se cumplan los requisitos.
En la Ciudad de La Plata, el Intendente está pensando en remodelar su ciudad construyendo algunas plazas. Como bien es sabido, La Plata es una ciudad cuadrada y el Intendente quiere que todas las plazas también sean cuadradas (los lados de cada cuadrado son calles transitables, los bordes de la ciudad también son transitables); y además, al Intendente le gustaría que las plazas no se superpongan y que cubran toda el área de la ciudad (es decir, que no queden huecos sin cubrir). El Arquitecto Mayor, luego de escuchar el proyecto, le dice que para que el trazado sea eficiente, se necesita que se cumpla la siguiente condición: "no puede haber ningún recorrido con forma de cuadrado (a través de calles transitables) en cuyo interior haya más de una plaza; a menos que el recorrido bordee toda la Ciudad". Al Turko, que está muy atento a todas las noticias de su amada Ciudad, le preocupa muchísimo saber cuántas plazas van a quedar después de la remodelación. Determinar todas las posibles cantidades de plazas en las que se puede partir la Ciudad para que se cumplan los requisitos.
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Fran2001
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Re: Maratón de Problemas
Solución 367:
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
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Fran2001
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Re: Maratón de Problemas
Problema 368 bis:
Brian tiene $3$ cuentas bancarias, cada una con una cantidad entera de pesos. Tiene permitido transferir plata de una cuenta a la otra, pero de forma que la cantidad de plata de la cuenta que recibe se duplique. Puede realizar esta operación cuantas veces quiera.
Demostrar que Brian siempre puede lograr que toda su plata esté en $2$ cuentas, dejando la otra vacía.
Brian tiene $3$ cuentas bancarias, cada una con una cantidad entera de pesos. Tiene permitido transferir plata de una cuenta a la otra, pero de forma que la cantidad de plata de la cuenta que recibe se duplique. Puede realizar esta operación cuantas veces quiera.
Demostrar que Brian siempre puede lograr que toda su plata esté en $2$ cuentas, dejando la otra vacía.
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
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Fran2001
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Re: Maratón de Problemas
Solución 368 bis:
Queda abierto para que proponga el que quiera.
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
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Emerson Soriano
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Re: Maratón de Problemas
Problema 369.
Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tales que, para cualesquiera números enteros positivos distintos $x$, $y$, $z$, el número $x+y+z$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $f(x)+f(y)+f(z)$ es un cuadrado perfecto.
Aclaración. $\mathbb{N}$ es el conjunto de todos los enteros positivos.
Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tales que, para cualesquiera números enteros positivos distintos $x$, $y$, $z$, el número $x+y+z$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $f(x)+f(y)+f(z)$ es un cuadrado perfecto.
Aclaración. $\mathbb{N}$ es el conjunto de todos los enteros positivos.
Re: Maratón de Problemas
En caso de que esté bien (bastante dudoso) replanteo el problema 368, que todavía no fue resuelto:
Problema 370:
En la Ciudad de La Plata, el Intendente está pensando en remodelar su ciudad construyendo $n\geq 2$ plazas. Como bien es sabido, La Plata es una ciudad cuadrada y el Intendente quiere que todas las plazas también sean cuadradas (los lados de cada cuadrado son calles transitables, los bordes de la ciudad también son transitables); y además, al Intendente le gustaría que las plazas no se superpongan y que cubran toda el área de la ciudad (es decir, que no queden huecos sin cubrir). El Arquitecto Mayor, luego de escuchar el proyecto, le dice que para que el trazado sea eficiente, se necesita que se cumpla la siguiente condición: "no puede haber ningún recorrido con forma de cuadrado (a través de calles transitables) en cuyo interior haya más de una plaza; a menos que el recorrido bordee toda la Ciudad". Al Turko, que está muy atento a todas las noticias de su Ciudad, le preocupa muchísimo saber cuántas plazas van a quedar después de la remodelación. Determinar todas las posibles cantidades de plazas en las que se puede partir la Ciudad para que se cumplan los requisitos.
Pista:
Problema 370:
En la Ciudad de La Plata, el Intendente está pensando en remodelar su ciudad construyendo $n\geq 2$ plazas. Como bien es sabido, La Plata es una ciudad cuadrada y el Intendente quiere que todas las plazas también sean cuadradas (los lados de cada cuadrado son calles transitables, los bordes de la ciudad también son transitables); y además, al Intendente le gustaría que las plazas no se superpongan y que cubran toda el área de la ciudad (es decir, que no queden huecos sin cubrir). El Arquitecto Mayor, luego de escuchar el proyecto, le dice que para que el trazado sea eficiente, se necesita que se cumpla la siguiente condición: "no puede haber ningún recorrido con forma de cuadrado (a través de calles transitables) en cuyo interior haya más de una plaza; a menos que el recorrido bordee toda la Ciudad". Al Turko, que está muy atento a todas las noticias de su Ciudad, le preocupa muchísimo saber cuántas plazas van a quedar después de la remodelación. Determinar todas las posibles cantidades de plazas en las que se puede partir la Ciudad para que se cumplan los requisitos.
Pista: