Maratón de Problemas

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Nacho

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Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Nacho » Jue 21 Oct, 2010 5:09 pm

Bueno, para ponerle onda al foro, vamos a hacer una maratón de problemas. La idea es así:
Se postea un problema, X lo resuelve y cuando lo resuelve postea un nuevo problema.
Si un problema queda sin solución por 3 días o más se prosigue a postear uno nuevo y seguir buscando la solución para después.

Acá va el problema 1:

PROBLEMA 1

Sea [math] el mínimo común múltiplo entre dos números [math] y [math] . Sea [math] el divisor común mayor. Demostrar que si [math] entonces un número es múltiplo del otro.
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Ivan

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Ivan » Jue 21 Oct, 2010 6:28 pm

Buena idea :D

Solución del problema 1:

[math] luego tenemos
[math]
Sean [math]. La ultima igualdad es equivalente a
[math]
que se factoriza como
[math]
Lo que prueba que uno de los dos es [math]. Multiplicando por [math] obtenemos el resultado deseado.

PROBLEMA 2:
En el plano hay dibujadas [math] rectas distintas. Cada una de ellas corta a exactamente otras [math] de las rectas. Hallar todos los valores de [math] para los cuales esto es posible.
Última edición por Ivan el Vie 22 Oct, 2010 7:30 pm, editado 2 veces en total.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Nacho

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Nacho » Vie 22 Oct, 2010 7:28 pm

Solución del Problema 2

Definamos a una recta como "principal" si define a un conjunto de rectas paralelas (este conjunto puede contener solo a la recta "principal"). Definamos entonces [math] a las rectas "principales".
Sea [math] la cantidad de rectas paralelas a [math] (incluyendo [math]).
Sea [math] la cantidad de rectas que intersectan a [math].
Por enunciado, [math].
Vemos tambien que [math].
Observamos ahora que [math] pues se corta con todas las rectas menos las que son paralelas y sí misma.
Sumamos ahora: [math]
[math]
[math] Entonces, vemos claramente que [math], y como [math] y [math]son coprimos, [math]. Vemos por lo tanto que los posibles valores de [math] son [math]

Problema 3

Hallar todos los enteros positivos [math] tales que [math] es un cubo perfecto.
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Matías V5

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 23 Oct, 2010 2:07 pm

Solución del Problema 3

Se puede chequear a mano que los cubos perfectos sólo pueden tener resto [math], [math] o [math] en la división por [math], o bien deducirlo del Pequeño Teorema de Fermat: si [math] es divisible por [math], tenemos [math]; si [math] es coprimo con [math], entonces [math], luego [math], de donde [math] tiene resto [math] o [math] en la división por [math].

Esto ya descarta todos los valores de [math] mayores o iguales que [math], pues [math] tendría resto [math] en la división por [math].

Así que sólo nos queda probar [math] casos. Se verifica fácilmente que [math] y [math] no funcionan (en tales casos [math] vale [math] y [math] respectivamente), mientras que [math], y [math], que no es un cubo perfecto.

Por lo tanto la única solución es [math].

PROBLEMA 4:
Decidir si es posible colorear cada entero positivo de rojo, azul o verde, de manera que cada color se use al menos una vez y si dos números [math] son de colores distintos, el número [math] está coloreado con el tercer color.
1  
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 26 Oct, 2010 4:12 pm

Solución del Problema 4

Vamos a mostrar que no se puede. Supongamos que es posible para llegar a un absurdo. Sin pérdida de generalidad supongamos que el [math] es rojo. Supongamos que [math] es el primer número azul. Sigue que [math] es verde. [math] es azul. De este modo todos los números mayores a [math] son azules o verdes. Pero [math] es rojo, absurdo.

PROBLEMA 5

Si [math] y [math] son dos números racionales positivos tales que ninguno de ellos es entero pero [math] es entero, determinar si es posible que [math] sea entero.
¿Y [math]?
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por amcandio » Mié 27 Oct, 2010 5:15 pm

Solución al problema 5

Como [math] y [math] son racionales decimos [math] y [math] donde [math][math].
Como su suma es entera tenemos [math], de donde resulta [math] y [math], por [math] nos queda [math] y [math], por lo tanto [math].
Ahora [math] [math] [math].

En la parte a) nos queda, [math] [math] [math] [math] [math], por [math] [math].
Entonces [math] [math] [math].
Ahora, por [math],[math] y [math] son impares, luego [math]. ABSURDO.

En la parte b) tenemos que [math], es decir [math], tomando [math] nos queda [math]
Por lo tanto, hay solucion: [math].

PROBLEMA 6


Sea P el número que se obtiene al multiplicar los factoriales de los primeros 2008 enteros positivos:

[math]

Determinar si es posible cancelar uno de estos factoriales de modo que la multiplicación de los 2007 factoriales que quedan sea un cuadrado perfecto.
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por amcandio » Jue 23 Dic, 2010 8:13 pm

Pensalo.. y si no sale lo cambio :P
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Ferroni.VR » Jue 23 Dic, 2010 9:45 pm

amcandio escribió:Pensalo.. y si no sale lo cambio :P
Sinceramente no tengo muchas ganas de ponerme a dibujar XD, de todas maneras, te sugeriría que lo cambies, porque lleva demasiado tiempo sin ser resuelto, y quizá nadie tiene ganas de hacerlo (o es muy difícil, qué se yo). :P

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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por amcandio » Vie 24 Dic, 2010 12:19 pm

Bueno a pedido de Ferroni.CP cambie de problema xD
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Re: Maratón de Problemas

Mensaje sin leer por Melanie » Vie 24 Dic, 2010 1:26 pm

Eh todo mal, ayer leí el anterior cuando estaba con Fede y me dieron ganas de pensarlo! Lo agarré hoy y ya no estaba :'(

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