ENTRENAMIENTO DE OLIMPIADAS DE MATEMATICAS

[Math_guajiro]

1. Doña Marcelina hace [math]N sándwich para una obra de caridad. Para cada sándwich ella usa [math]M porciones de mantequilla de maní a [math][tex]\$400[/tex] por porción, y [math]F porciones de mermelada de fresa a [math][tex]\$500[/tex] por porción. El costo de la mantequilla y la mermelada utilizada por todos los sándwich es de [math][tex]\$25300[/tex]. Asumiendo que [math]N, [math]M y [math]F son todos enteros positivos y [math]N>1, hallar la cantidad de sándwich que hizo Doña Marcelina, el costo total de la mermelada y el costo total de la mantequilla.

2. Sea [math]PQR un triangulo con [math]PR=QR=24. Se toma un punto [math]T sobre el lado [math]QR tal que [math]RT=16 y un punto [math]S sobre el lado [math]PR tal que [math]RS=16, [math]PT y [math]QS se cortan en [math]N. Si el área de [math]RSNT es 32, ¿cuál es el valor del área de [math]PQR?

3. Calcular [math]1+2+3-4-5+6+7+8-9-10+11+\ldots+2013-2014-2015.

4. Encontrar todas las soluciones en números reales positivos [math]a,b,c,d que satisfacen el siguiente sistema

[math]a+b+c+d=12
[math]abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd

5. Sean [math]a, b, c números reales positivos. Demuestre que los números [math]\frac{1}{a+b}, \frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, son términos consecutivos de una progresión aritmética si y solamente si los números [math]a^2,b^2,c^2 son términos consecutivos de una progresión aritmética.

6. Sea [math]ABCD un cuadrilátero convexo. Sean [math]\ell_1, [math]\ell_2, [math]\ell_3 y [math]\ell_4 las bisectrices de los ángulos, [math]A\widehat{B}C, [math]B\widehat{C}D, [math]C\widehat{D}A y [math]D\widehat{A}B. [math]P el corte de [math]\ell_1 y [math]\ell_2, [math]Q el corte de [math]\ell_2 y [math]\ell_3, [math]R el corte de [math]\ell_3 y [math]\ell_4, y [math]S el corte de [math]\ell_4 y [math]\ell_1. Demostrar que [math]PQRS es concíclico.

[Fran5]

3.

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[math]1+2+3-4-5+6+7+8-9-10+...+2011+2012+2013-2014-2015=

[math]=(1+2+3-4-5)+(6+7+8-9-10)+...+(2011+2012+2013-2014-2015)=

[math]=((5\cdot0 +1)+(5\cdot0+2)+(5\cdot0+3)-(5\cdot0+4)-(5\cdot0+5))+...+((5 \cdot 402+1) +(5 \cdot 402+2)+(5 \cdot 402+3)-(5 \cdot 402+4)-(5 \cdot 402+5))=

[math]= \sum_{i=0}^{402} \left ( (3-2) \cdot 5i+1+2+3-4-5 \right )=

[math]=402(1+2+3-4-5)+ \sum_{i=0}^{402} 5i =

[math]=-1206 + 5 \sum_{i=0}^{402} i=

[math]=-1206 + 5 \frac{402\cdot 403}{2}=

[math]=-1206 + 5 \cdot 81003=

[math]=403809

[Fran5]

Debe haber un error en el 5to

Seguro que no es 1/(a+b),1/(a+c),1/(b+c) en lugar de 1/(a+b),1/(b+c),1/(c+a), ??

5.

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Tenemos que [math]\frac{2}{b+c}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}= \frac{(a+b)+(a+c)}{(a+b)(a+c)}

Entonces, [math]2(a+b)(a+c)=(b+c)(2a+b+c)

Sigue que [math]2a^2+2ab+2bc+2ca=2ab+2ac+b^2+c^2+2bc

Luego [math]2a^2=b^2+c^2