Provincial 2001 N3 P3

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UNREAD_POSTpor LuchoLP » Lun 02 Jun, 2014 8:25 pm

Sean $ABCD$ un rectángulo, $M$ el punto medio del lado $BC$ y $P$, $Q$ puntos del lado $AB$ tales que $A\widehat{M}Q = Q\widehat{M}P = P\widehat{M}B$ y $AQ = 2 BP$. Calcular la medida del ángulo $A\widehat{M}B$.

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Re: Provincial 2001 N3 P3

UNREAD_POSTpor ktc123 » Lun 02 Jun, 2014 10:13 pm

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Para que el problema tenga sentido los puntos $A$, $Q$, $P$ y $B$ se encuentran alineados en ese orden. Sea $\angle AMQ=\angle QMP=\angle PMB=\alpha$. Vamos a ver que $\triangle AQD$ es semejante al $\triangle PBM$. Para eso notemos que $\angle DAQ=\angle PBM=90^{\circ}$ y que $\frac{AD}{AQ}=\frac{2BM}{2BP}=\frac{BM}{BP}$. Como resultado sigue que $\angle ADQ=\angle PMB=\alpha$ y entonces como $\angle ADQ=\angle AMQ=\alpha$ sigue que $ADMQ$ es cíclico y que $\angle BAM=\angle QAM=\angle QDM=90^{\circ}-3\alpha$. Ahora calculamos $\angle DMC$ ya que $\angle DMC=90^{\circ}-(\alpha)-(90^{\circ}-3\alpha)=2\alpha$. Como $\triangle ABM$ y $\triangle DCM$ son congruentes obtenemos que $\angle AMB=\angle DMC=3\alpha$. Por suma de ángulos internos en $\triangle DMC$, $2\alpha+3\alpha+90^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow \alpha=18^{\circ}$ y finalmente $\angle AMB=3\alpha= 54^{\circ}$
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Re: Provincial 2001 N3 P3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 10:26 pm

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Sea $A\widehat MQ=Q\widehat MP=P\widehat MB=\alpha$ y $B\widehat MA=\beta$. Como $AQ=2BP$, $AD=2BM$ y $Q\widehat AD=90°=P\widehat BM$, entonces $\triangle QAD\simeq \triangle PBM$ y por lo tanto $A\widehat DQ=\alpha \Rightarrow AQMD$ es cíclico, luego $Q\widehat DM=Q\widehat AM=\beta$. Como $BM=CM$, $AB=CD$ y $A\widehat BM=90°=D\widehat CM$, entonces $\triangle ABM=\triangle DCM$ y por lo tanto $M\widehat DC=M\widehat AB=\beta$. Como $A\widehat BM=90°$, se tiene que $3\alpha +\beta =90°$ y como $A\widehat DC=90°=\alpha +2\beta$; entonces $3\alpha +\beta=\alpha +2\beta \Rightarrow 2\alpha =\beta\Rightarrow 5\alpha =90°\Rightarrow \alpha =18°\Rightarrow 3\alpha=54°=A\widehat MB$

Por lo tanto $A\widehat MB=54°$
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$e^{i\pi}+1=0$
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