Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

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AgusBarreto

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Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Vie 12 Dic, 2014 2:07 pm

En el triángulo [math] sean [math] y [math] las bisectrices de los ángulos [math] , [math] respectivamente, con [math] [math] y [math] [math], y sea [math] el punto de intersección de [math] y [math].
Sean [math] y [math] respectivamente los segundos puntos de intersección de [math] y [math] con la circunferencia que pasa por [math], [math] y [math].
El segmento [math] corta al lado [math] en [math] y al lado [math] en [math]. Demostrar que el cuadrilátero [math] es un rombo.

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Brimix

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Re: Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por Brimix » Sab 13 Dic, 2014 1:11 am

Ahora soy Felipe... :) :) :) :) :)
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Otra vez empezamos por el dibujo
N3P3 OCA.jpg
Lo primero que vemos es que por arco capaz [math] y a la vez [math], por lo que [math]
Análogamente, [math].

Esta conjetura nos dice que:
[math] es cícilico
Análogamente:
[math] es cícilico

Y esta nueva conjetura nos lleva a:
[math]
[math]

Y por arco capaz:
[math]
[math]

Y ahora, magia:
[math]
Análogamente: [math]

Y ahora:
[math]
[math]

Y para terminar de liquidar:
[math] es paralelgramo.

Y...
Venía re quemado y la solución no esta completa, flashee que si, pero no, desp veo como termino de liquidarlo
Spoiler: mostrar
Ahora miremos los cíclicos que habíamos "descubierto" (muahaha).
[math]
Análogamente: [math]

Pero por arco capaz...
[math]
[math]
[math]

Y buo, ahora si:
Tenemos que [math] es paralelogramo con un par de lados consecutivos iguales.
En consecuencia, [math] es rombo.
Ahora si, limpie mi nombre.
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Última edición por Brimix el Sab 13 Dic, 2014 1:59 pm, editado 1 vez en total.
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JPablo
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Re: Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 13 Dic, 2014 12:42 pm

Después subo un diseño :D
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Antes de analizar el cuadrilátero [math], analicemos toda la figura. Sea [math], por ser [math] bisectriz de [math]. Por Arco Capaz tenemos que

[math]

[math]

Análogamente sea [math]. Entonces por Arco Capaz tenemos

[math]

[math]

Como [math] entonces el triángulo [math] es isósceles con [math].

Como [math] entonces el cuadrilátero [math] es cíclico, luego [math]. En el triángulo [math] tenemos [math], [math]. Entonces

[math]

Y en el triángulo [math] tenemos [math], por lo tanto

[math]

Por lo tanto [math] y entonces [math]. Ya habíamos demostrado que [math], por transitividad de la relación de igualdad tenemos [math].

Como [math] entonces [math] es cíclico, por lo tanto [math].

Analizando cuidadosamente la figura, tenemos las siguientes semejanzas:

[math]

Ahora sí, demostremos el enunciado. Usando la relación [math], tenemos

[math]

Pero ya sabemos que [math], por lo tanto [math]. Luego [math]. Calculemos el valor de estos dos ángulos:

Notemos que

[math]

De donde [math] y además [math], por lo tanto

[math]

De donde [math].

Sea [math] el punto de intersección entre [math] y [math]. Como [math] es un ángulo exterior del triángulo [math], debe ser igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes, es decir que

[math]

Análogamente [math]. Como [math] es el complementario de [math] (y análogamente con [math] y [math]) entonces [math] y [math] son perpendiculares. Además [math] y como [math], se sigue que dichos triángulos son congruentes.

Notemos que [math], también por ser ángulo exterior, y por ser complementario, tenemos [math], de esta forma [math] es también congruente con [math], y por lo tanto [math]. Además, las congruencias nos garantizan [math] y [math].

Sea [math], sea [math] y sea [math]. Por el Teorema de Pitágoras tenemos que [math]. Y en el triángulo [math] tenemos

[math]

Por lo tanto [math]. Hemos demostrado que [math], por lo tanto el cuadrilátero [math] es un rombo. [math]

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JPablo
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Re: Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 13 Dic, 2014 1:05 pm

Diseño:
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Perdí.png
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LuchoLP

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Re: Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por LuchoLP » Sab 13 Dic, 2014 8:35 pm

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Digamos [math], [math] y [math]. De esto, [math]. Por suma de ángulos, [math]. Por arco capaz, [math], [math], [math] y [math]. Por angulitos, los cuadriláteros [math] y [math] son cíclicos, de donde: [math], [math], [math] y [math]. Por suma de angulitos, [math] y [math]. Finalmente, el cuadrilátero [math] tiene [math] y [math], por lo que es un rombo.

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Fran5

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Re: Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Sab 13 Dic, 2014 9:36 pm

Este era un problema curioso :roll:

Un par de ideas para demostrar que [math] es un rombo (son lo mismo, en escencia)
-Ver que es un paralelogramo con diagonales perpendiculares
-Ver que es un romboide con diagonales que se cortan en un punto medio
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Re: Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por Veronica Spessotti » Sab 28 Nov, 2015 7:53 am

Me sirvió mucho!!

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Gianni De Rico

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Re: Segunda Ronda Regionales 2014 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 17 Jul, 2018 6:41 pm

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Como $I$ es incentro tenemos $EI=EC$ y $DI=DC$, de donde $CDIE$ es un romboide y $CI\perp ED$. Como $D$ es el punto medio del arco $AC$ que no contiene a $B$, resulta que $ED$ es bisectriz de $C\widehat EA\Rightarrow C\widehat EG=G\widehat EI$, pero $EG=EG$ y $EC=EI$, por lo tanto $\triangle CEG=\triangle IEG\Rightarrow CG=GI$. Análogamente, $CF=FI$. Pero $CI$ es bisectriz de $F\widehat CG$ y $CI\perp EG$, luego, $\triangle FCG$ es isósceles en $C$ y $CF=CG$. Por lo tanto, $IF=FC=CG=GI$, de donde $IFCG$ es un rombo.
[math]

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