Selectivos Perú Cono Sur 2014

LucasRamiro

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Selectivos Perú Cono Sur 2014

Mensaje sin leer por LucasRamiro » Lun 23 Feb, 2015 1:33 pm

En el adjunto los problemas.
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JPablo
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Re: Selectivos Perú Cono Sur 2014

Mensaje sin leer por JPablo » Mar 24 Feb, 2015 11:13 pm

Problema 1:

Un par ordenado [math] de enteros positivos es llamado decianimal cuando [math] es igual a una fracción decimal [math], con [math]. Halle todos los pares decianimales.
Spoiler: mostrar
Sea [math] y sean [math] y [math] dos naturales tales que [math] y [math]. Entonces [math]. De esta forma
[math]
Por lo tanto [math]. Además tenemos que [math] y [math] son coprimos. En efecto, si existiera un primo [math] que los divida a ambos tendríamos [math] y [math]. De la primera surge que debe dividir a [math] o a [math], y de la segunda surge que también divide al otro, absurdo porque son coprimos.

Por lo tanto [math], de donde [math].

Caso 1: [math]

Entonces [math] y [math], luego [math], tenemos entonces
[math]
Por lo tanto [math], de donde [math]. El único que es coprimo con [math] es [math], por lo tanto [math] y [math], así [math] es una solución.

Caso 2: [math]

Entonces podemos tomar [math] y [math], de donde [math] y [math], así
[math]
De esta forma [math].

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Caso 3: [math]

Podemos entonces tomar [math] y [math], de esta forma [math] y [math], luego
[math]
De donde [math].

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Caso 4: [math]

Tenemos dos posibles sub casos:

Sub caso 4.1: [math] y [math]

Entonces [math] y [math], de esta forma
[math]
Y por lo tanto [math].

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Sub caso 4.2: [math] y [math]

Entonces [math] y [math], luego
[math]
Entonces [math].

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Si [math] entonces [math], así [math] y [math] son soluciones.

Conclusión: Las soluciones [math] son:

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

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