Intercolegial 2015 N3 P2

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 872
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 11 Jun, 2015 6:30 pm

Un tablero cuadrado de [math] está dividido en casillas de [math]. Se numeran las filas, de arriba hacia abajo, de [math] a [math] y se numeran las columnas, de izquierda a derecha, de [math] a [math]. A continuación se colorean de negro todas las filas y todas las columnas con número par. Calcular la cantidad de casillas negras que tendrá el tablero.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Hechicero

OFO - Mención
Mensajes: 167
Registrado: Mié 17 Abr, 2013 10:08 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Hechicero » Jue 11 Jun, 2015 6:52 pm

Spoiler: mostrar
[math].
???
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.

Nicolas Ruiz

OFO - Mención
Mensajes: 12
Registrado: Sab 05 Jul, 2014 11:18 pm
Medallas: 1
Nivel: 2

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Nicolas Ruiz » Jue 11 Jun, 2015 7:04 pm

Si crees en ti, podrás lograr lo que sea..

AgustinSD

OFO - Mención
Mensajes: 9
Registrado: Sab 31 Ene, 2015 11:55 am
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por AgustinSD » Jue 11 Jun, 2015 7:12 pm


Avatar de Usuario
3,14

OFO - Medalla de Plata FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 438
Registrado: Jue 11 Oct, 2012 5:20 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por 3,14 » Jue 11 Jun, 2015 7:15 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] el número de filas y columnas del tablero, con [math] impar. Identifiquemos cada casilla del tablero con dos índices, [math] y [math], de modo que [math] y [math]. Cada casilla se identifica como [math], donde [math] es el índice que expresa su número de fila, y [math] el número de columna. Dividamos las casillas del tablero en cuatro conjuntos disjuntos [math], [math], [math] y [math], de modo que:
[math]
[math]
[math]
[math]
Sea [math] el número de casillas pintadas. Sea [math] el cardinal de un conjunto [math]. Es claro que:
[math]
Calcularemos el cardinal del conjunto [math]. Este equivale al número de casillas cuyos dos índices son impares. Si [math], es claro que hay [math] posibilidades para [math] y [math] posibilidades para [math], así que:
[math]
Desarrollando la fórmula se obtiene que:
[math]
Reemplazando [math] se obtiene el resultado que pusieron más arriba.
[math]

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 810
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 11 Jun, 2015 7:47 pm

Spoiler: mostrar
Fijemosnos que contar la cantidad de casillas negras es lo mismo que contar la cantidad de casillas blancas y restar ese número a la cantidad total de casillas.

Hay [math] casillas.

Por otro lado, las casillas blancas so las que están sin colorear, es decir, las que están en filas y columnas impares.

Como todo todo numero impar se puede expresar de la forma [math] para algún nautral [math], y [math], se tiene que hay [math] número impares entre [math] y [math].

Por tanto, hay [math] casillas blancas.

En conclusión, hay [math] casillas negras en el tablero
1  
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

florotharmel
Mensajes: 2
Registrado: Mar 20 May, 2014 8:14 am
Nivel: 2

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por florotharmel » Jue 11 Jun, 2015 7:52 pm


Avatar de Usuario
Emerson Soriano

OFO - Mención OFO - Medalla de Oro OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 786
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medallas: 4

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Jue 11 Jun, 2015 9:44 pm

Spoiler: mostrar
Hay [math] columnas con número par, en ellas contamos [math] casillas negras. Luego, hacemos lo mismo con las filas, y en total tendríamos [math] casillas negras, pero aquí se están contando casillas dos veces, que son [math], por eso hay que quitarlas una vez. Luego, la cantidad de casillas negras es
[math]

kevin29
Mensajes: 1
Registrado: Mar 08 May, 2018 12:05 pm
Nivel: 3

Re: Intercolegial 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por kevin29 » Mar 08 May, 2018 8:26 pm

Hechicero escribió:
Jue 11 Jun, 2015 6:52 pm
Spoiler: mostrar
$3044161$.
???
hola.. disculpa las molestias pero como llegaste a ese resultado? gracias

Responder