OFO 2016 Problema 5

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lichafilloy

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OFO 2016 Problema 5

Mensaje sin leer por lichafilloy » Sab 16 Ene, 2016 11:52 pm

Sean [math] y [math] dos circunferencias tangentes en el punto [math], con [math] en el interior de [math]. Una recta [math] que no pasa por [math] es tangente a [math] en el punto [math] y corta a [math] en los puntos [math] y [math]. Sea [math] el segundo punto de intersección de la recta [math] con la circunferencia [math]. Demostrar que [math].
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lichafilloy

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Re: OFO 2016 Problema 5

Mensaje sin leer por lichafilloy » Sab 23 Ene, 2016 11:41 pm

Solución oficial:
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OFO problema 5.png
Sea [math] la recta tangente a [math] que pasa por [math]. Analizando la homotecia entre [math] y [math] con centro en [math] y razón positiva. Podemos ver que la homotecia lleva la recta [math] a la recta tangente a [math] y que pasa por la un punto que esta en dicha circunferencia y en la semirecta [math], es decir [math]. Luego, la recta [math] se va a la recta [math] mediante esta homotecia, por lo que podemos afirmar que [math] y [math] son paralelas.
Dicho esto, sea [math] un punto sobre [math] en el semiplano determinado por [math] que contiene a [math]. Luego, [math] al ser el ángulo semiinscripto, además, [math] por paralelas. Luego [math] de dónde [math]. [math]
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Última edición por lichafilloy el Dom 31 Ene, 2016 11:18 pm, editado 1 vez en total.
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fleschler.ian

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Re: OFO 2016 Problema 5

Mensaje sin leer por fleschler.ian » Dom 24 Ene, 2016 12:27 am

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Figura de analisis:
OFO 2016 2.png
Sea [math] el punto de intersección entre la recta [math] y la tangente común a ambas circunferencias, que pasa por [math].
Sea [math] y sea [math]. Entonces [math].
Como [math] y [math] son tangentes a [math] entonces por semi-inscritos [math] (que es el ángulo que subtiende la cuerda [math] en dicha circunferencia).
Como [math] es tangente a [math] entonces por semi-inscritos [math].
[math]
Por lo tanto [math]. Eso implica [math].
Que es lo mismo que [math] (ya que [math], [math] y [math] colineales).
Por ultimo, por arco capaz con cuerdas [math] y [math], respectivamente, obtenemos [math] y [math].
Ergo [math] que implica directamente [math] que era lo que queríamos demostrar.
Queda entonces demostrado el problema.
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jujumas

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Re: OFO 2016 Problema 5

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 24 Ene, 2016 12:13 pm

Solución light (libre de angulitos):
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Llamemos [math] y [math] a los centros de las circunferencias con sus respectivos subíndices.
Al ser estas circunferencias tangentes interiores en [math], obtenemos que [math], [math] y [math] están sobre una misma recta. Vamos a suponer que esta recta corta a la circunferencia [math] en [math] distinto de [math], y a la circunferencia [math] en [math] distinto de [math].

Es conocido como Lema que dadas dos circunferencias tangentes interiormente en un punto [math] y dada una recta que pasa por [math] y corta a las circunferencia interior y a la exterior en los puntos [math] y [math], entonces la relación entre [math] y [math] es constante mientras la recta corte a dichas circunferencias.

En base a este lema, podemos ver que [math]. Luego, como [math] es punto medio de [math] y como [math] es punto medio de [math], obtenemos que ambas fracciones son iguales a [math]. Luego, por el recíproco del teorema de Thales obtenemos que [math], pero como [math] y [math] son perpendiculares (al ser [math] tangente a la circunferencia con dicho centro), [math] también son perpendiculares, pero como [math], tenemos que [math] es mediatriz de [math], y como [math] esta en la mediatriz, obtenemos que [math] como queríamos demostrar inicialmente.

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Emerson Soriano

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Re: OFO 2016 Problema 5

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Dom 24 Ene, 2016 1:33 pm

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Solución al Problema 5:
Trazamos una recta [math] tangente en [math] a [math]. Sea [math] el punto de corte de [math] y la recta [math]. Notemos que [math]. Con respecto al arco [math] podemos notar que [math], por lo tanto, [math]. Luego, el arco [math] (que no contiene a [math]) es igual a [math] pero también es igual a [math]. Por lo tanto, [math].

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Re: OFO 2016 Problema 5

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 26 Ene, 2016 1:33 pm

Una hecha con un poco de amor y un poco de homotecias

Tip copado y bastante útil en geometría
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Primero que nada sabemos que si tengo una cuerda [math] en una circunferencia [math] y [math] es un punto cualquiera del arco [math] entonces la bisectriz de [math] corta al arco [math] en el que no está [math] en su punto medio. Vale la recíproca, si [math] es el punto medio del arco [math] que no contiene a [math] entonces [math] es la bisectriz del ángulo [math]. El enunciado nos pide ver que [math], o lo mismo, que [math] es el punto medio del arco [math], por ende esto equivale a probar que [math] es bisectriz del ángulo [math].
Y la solución:
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Ahora si, arrancamos: llamamos [math] a la intersección de [math] y [math] que no es [math], llamamos [math] a la intersección de [math] y [math] que no es [math]. Como [math] es cíclico entonces [math], [math], [math] y [math]. Consideramos ahora la cuerda [math] de [math], como [math] es tangente en [math] vale que [math], y además como [math] es cíclico [math]. Teniendo ya dos ángulos del triángulo [math] y usando que [math] llegamos a que [math].
Ahora bien, sabemos que dos circunferencias cualesquiera pueden ser consideradas homotéticas, en particular, si estás circunferencias son tangentes y una es interior a la otra el centro de la homotecia es el punto de tangencia, en este caso [math]. Luego, nuestra homotecia manda el punto [math] a [math], el punto [math] a [math] y el punto [math] a [math]. Como los triángulos [math] y [math] son homotéticos entonces [math] es paralela a [math], por lo que [math]. Nos queda que [math] de donde [math], probando así que [math] es bisectriz de [math], lo que nos dice que [math] como queríamos demostrar.

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Re: OFO 2016 Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 24 Ago, 2019 12:12 am

Solución:
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Consideremos la inversión de centro $A$ y radio $AB$, y sea $X'$ el inverso de $X$ para todo punto $X$ del plano. Como $ACED$ es cíclico, tenemos que $C',D',E'$ son colineales. Como $B,C,D$ son colineales, tenemos que $AC'BD'$ es cíclico. Como $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ son tangentes en $A$, entonces $\Gamma _1$ se va a la recta paralela $C'D'$ por $B$, y como la inversión preserva tangencias, tenemos que esta recta es tangente al circuncírculo de $AC'BD'$.
Por lo tanto, si $F$ es un punto sobre la paralela a $C'D'$ por $B$ tal que $C'$ y $F$ están en el mismo semiplano determinado por $AB$, tenemos que $$\angle DCE=\angle DAE=\angle D'AB=\angle D'C'B=\angle FBC'=\angle BD'C'=\angle BAC'=\angle EAC=\angle EDC$$
Entonces $EC=ED$.
[math]

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