Sea [math]b un entero positivo. Se construye una sucesión infinita de números [math]x_1, x_2, x_3, \ldots de acuerdo a la siguiente regla: [math]x_1 = b, y para cada [math]n \in \mathbb N, [math]x_{n+1} = \frac{x_n+11}{25}.
Determinar el mínimo valor de [math]b para el cual los [math]2017 números [math]x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{2017} son todos enteros.
Veamos que todos los términos de la sucesión son positivos, cada uno se define sumándole [math]11 y dividiendo por [math]25 al anterior, si el primero es positivo, todos los siguientes lo serán.
Escibiendo la fórmula de la siguiente manera: [math]x_n = 25 x_{n+1} - 11 , es fácil ver que si un término es entero, el anterior también lo era, entonces, si elegimos un valor entero para [math]x_{2017}, todos los términos anteriores serán enteros.
Usando la fórmula despejada, podemos escribir [math]b de la siguiente manera:
Entonces debemos tomar un valor de [math]x_{2017} para que [math]b sea lo menor posible, sabiendo que [math]x_{2017}\geq1 porque es natural por lo que dijimos antes. Supongamos que tomamos dos valores distintos para [math]x_{2017} que sean [math]r,s esos valores tales que [math]r<s, entonces tenemos que:
[math]25^{2016} r - 11\frac{25^{2016} - 1}{24}<25^{2016} s - 11\frac{25^{2016} - 1}{24}
Esto nos dice que mientras más chico sea [math]x_{2017}, más chico será [math]b.
Por lo tanto, como queremos el menor valor de [math]b, tomamos [math]x_{2017} =1 y nos queda que [math]b= 25^{2016} - 11\frac{25^{2016} - 1}{24} es el menor valor que cumple que [math]x_1, x_2, ... , x_{2017} son todos enteros, que es lo que estábamos buscando.
Última edición por Luli97 el Mié 25 Ene, 2017 10:04 pm, editado 1 vez en total.
Es claro que la sucesión siempre es positiva, luego queremos que nuestros enteros sean positivos. Planteamos [math]x\leq \frac{x+11}{25} y que nos da que [math]x \leq \frac{11}{24} para que pase que nuestra sucesión en algún momento no sea decreciente, luego como queremos que los primeros [math]2017 términos sean enteros positivos entonces los primeros [math]2017 términos son decrecientes. Sean [math]x_n con [math]x_1=b y [math]y_n con [math]y_1=c ambas cumpliendo la propiedad de los 2017 términos enteros, con [math]b y [math]c enteros positivos. Supongamos que para algún [math]1\leq k \leq 2017 vale que [math]y_k \leq x_k, si [math]k=1 entonces [math]c\leq b, si [math]k no es uno, entonces [math]\frac{y_{k-1}+11}{25}\leq \frac{x_{k-1}+11}{25}, de donde [math]y_{k-1} \leq x_{k-1}, si [math]k-1 no es uno iteramos el proceso, si es uno entonces [math]c\leq b. La conclusión de esto es que si para algún [math]k entre [math]1 y [math]2017 pasa que [math]y_k \leq x_k entonces [math]c\leq b, ergo, la sucesión que tiene menor primero elemento y cumple el enunciado también es la que tiene menor elemento en la posición [math]2017 cumpliendo el enunciado, luego el menor entero positivo es [math]1, por lo que [math]x_{2017}=1. Ahora tenemos que calcular [math]x_1
Para facilitar las cosas planteamos ahora otro enfoque de lo que necesitamos. Construímos la sucesión [math]a_{n+1}=25a_n-11 y [math]a_1=1, es claro que [math]a_n=x_{2017-n+1} para todo [math]n entre [math]1 y [math]2017. Queremos encontrar [math]a_{2017} de nuestra nueva sucesión. Tenemos ahora una relación de recurrencia lineal no homogénea con coeficientes constantes, sabemos que el término general en función de [math]n está dado por [math]a_n=a_n^{(h)}+ a_n^{(p)}, siendo [math]a_n^{(h)} la solución a la relación de recurrencia lineal homogénea [math]a_{n+1}=25a_n, y [math]a_n^{(p)} la solución de la ecuación particular [math]\beta = 25\beta -11. En el primer caso planteamos la ecuación característica y nos queda [math]x-25=0 de donde [math]x=25 y obtenemos que [math]a_n^{(h)}=\alpha 25^n, resolvemos ahora la ecuación particular que teníamos [math]\beta = 25\beta -11 y llegamos a que [math]\beta=\frac{11}{24}, por lo que [math]a_n=\alpha 25^n + \frac{11}{24}. Solo nos falta despejar la constante [math]\alpha, para eso igualamos la solución con las condiciones iniciales, es decir [math]a_1=1=\alpha 25^1 + \frac{11}{24}, despejamos y nos queda que [math]\alpha=\frac{13}{24.25}, con lo que nos queda que [math]a_n=\frac{13}{24.25} 25^n + \frac{11}{24}=\frac{13}{24} 25^{n-1} + \frac{11}{24}, de donde [math]a_{2017}=\frac{13}{24} 25^{2016} + \frac{11}{24}=x_1=b es el menor entero positivo que cumple lo pedido
Demostracion: Sea [math]S la suma. Entonces, [math]25S = \sum_{n=0}^k25^{n+1} y [math]25S-S = \sum_{n=0}^k25^{n+1}-25^n=25^{n+1}-1=24S y el resto es trivial.
Volvemos al problema.
Es trivial que todos los terminos de la sucesion son positivos, de donde [math]x_{2017} \geq 1 \Rightarrow b+\frac{11(25^{2016}-1)}{24} \geq 25^{2016} \Rightarrow b \geq 25^{2016} - \frac{11(25^{2016}-1)}{24} y el minimo es [math]25^{2016} - \frac{11(25^{2016}-1)}{24}
Es trivial que [math]b es entero y no es dificil probar que es positivo. Falta probar que tal [math]b nos da [math]x_n todos enteros.
[math]x_n = \frac{25^{2016} - 11(\sum_{i=0}^{2015}25^i) + 11(\sum_{i=0}^{n-2}25^i)}{25^{n-1}} = \frac{25^{2016} - 11(\sum_{i=n-1}^{2015}25^i)}{25^{n-1}}, para[math]n \leq 2016; es trivial que esto es entero. Para [math]n=2017, [math]x_{2017} = 1
(Si, el numero mios y de @Turko Arias son iguales).
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Como [math]b es un entero positivo, [math]x_i es positivo ya que [math]\frac{x_i+11}{25} es positivo.
por el enunciado tenemos [math]x_{n+1} = \frac{x_n+11}{25} que es equivalente a... [math]x_{i-1} =x_ i 25 -11[math](!)
osea que mientras menor sea [math]x_{n-1} menor sera [math]x_n por lo tanto mientras menor sea [math]x_{2017} menor sera [math]x_1 y como [math]x_{2017} es positivo, como mínimo es igual a 1. (Es claro que por [math](!) todos los [math]x_i serán enteros).
Ahora demostraremos por inducción que [math]x_i = 25^{2017-i}-11(\frac{25^{2017-i}-1}{24})
CASO BASE: [math]x_i = x_{2017} = 1 [math]x_{2017} = 25^{2017-2017}-11(\frac{25^{2017-2017}-1}{24}) = 1
Ahora supongamos que se cumple para [math]x_i [math]x_i = 25^{2017-i}-11(\frac{25^{2017-i}-1}{24})
multipliquemos ambos miembros por [math]25 y restemos les [math]11 [math]x_ i 25 -11 = (25^{2017-i}-11(\frac{25^{2017-i}-1}{24}) )25 -11 = x_{i-1} por [math](!)
distribuyendo el [math]25 y facto rizando los [math]11 [math]x_{i-1} = 25^{2017-(i-1)}-11(\frac{25^{2017-(i-1)}-1}{24})
Por lo tanto si se cumple para [math]x_i se cumple para [math]x_{i-1} y se cumple en particular para [math]x_{2017}.
Entonces el valor mínimo de [math]b es [math]25^{2016}-11(\frac{25^{2016}-1}{24})
Primero notemos que la sucesión es decreciente, es decir, [math]x_1\geq x_2\geq ... \geq x_{2017}.
De la expresión que nos da el enunciado se puede obtener que [math]x_n=25x_{n+1}-11. Entonces vemos que:
-si [math]x_{n+1} es negativo, entonces [math]x_n también. De esto se desprende que para que [math]x_1 sea positivo, todos los términos tienen que ser positivos, y en particular, [math]x_{2017}
-si [math]x_{n+1} es entero, entonces [math]x_n también
Y para que [math]x_1=b sea mínimo, [math]x_{2017} también tiene que serlo.
Tomando [math]x_{2017}=1, se tiene que [math]x_1=b=25^{2016}-11.\sum_{i=0}^{2015} 25^{i}=25^{2016}-11.\frac{25^{2016}-1}{25-1}=\frac{13}{24}25^{2016}+\frac{11}{24}
Entonces, el mínimo valor de [math]b es [math]\frac{13}{24}25^{2016}+\frac{11}{24}
Notemos que la sucesión es decreciente (ya que [math]\frac{x+11}{25}<x es equivalente a [math]11<25x).
Ahora notemos que [math]x_{n-1}-x_n=\frac{x_{n-2}+11}{25}-\frac{x_{n-1}+11}{25}=\frac{x_{n-2}-x_{n-1}}{25}
Luego [math]25(x_{n-1}-x_n)=x_{n-2}-x_{n-1}.
Ahora basado en el hecho de que necesitamos que [math]x_1,x_2,...,x_{2016} sean todos enteros congruentes a [math]14 modulo [math]25 suena razonable colocar [math]x_{2015}-x_{2016}=25k e ir imponiendo la condicion hasta llegar a que [math]25^{2014}(x_{2015}-x_{2016})=x_1-x_2
Es decir que [math]25^{2015}k=b-\frac{b+11}{25}
En otras palabras, [math]b=\frac{25^{2016}k+11}{24}.
Solo nos falta elegir el [math]k para que [math]25^{2016}k+11 \equiv 0 (mod 24), es decir que [math]24|k+11.
El minimo es [math]13 y por lo tanto el minimo [math]b que cumple las condiciones es [math]b=\frac{25^{2016}\cdot 13+11}{24}
Nota: Notemos que [math]b \equiv \frac{11}{24} \equiv \frac{11}{-1} \equiv -11 \equiv 14 (mod 25) entonces todos los numeros [math]x_1,x_2,...,x_{2016} seran de la forma [math]25r+14 y el problema queda resuelto. [math]\blacksquare
