Determinar todas las ternas de números enteros positivos [math](a,b,c) tales que los números [math]a^2+2b+c, [math]b^2+2c+a y [math]c^2+2a+b son todos cuadrados perfectos.
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Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el mayor de los tres números [math]a,b,c es [math]c. Es importante notar que la condición del enunciado NO es simétrica en [math]a,b,c sino solamente cíclica, así que tendremos que analizar por separado los casos [math]a \leq b y [math]b \leq a.
Como [math]c es el mayor de los tres números, y son todos positivos, se tiene que [math]c^2 < c^2 + 2a + b \leq c^2 + 2c + c = c^2 + 3c < c^2 + 4c + 4 = (c+2)^2. Es decir que [math]c^2+2a+b es un cuadrado perfecto estrictamente comprendido entre [math]c^2 y [math](c+2)^2. Claramente la única posibilidad es que sea [math]c^2 + 2a + b = (c+1)^2, de donde se deduce [math]\boxed{2a + b = 2c+1}.
Caso 1: [math]a \leq b
En este caso, tenemos que [math]b^2 < b^2 + 2c + a = b^2 + (2a + b - 1) + a \leq b^2 + 4b - 1 < b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2 (hemos usado la relación [math]2c = 2a+b-1, que se deduce de la ecuación recuadrada). Por razones idénticas a las que ya usamos antes, se deduce que [math]b^2+2c+a = (b+1)^2, es decir, [math]\boxed{2c+a = 2b+1}.
Reemplazando [math]b = 2c-2a+1 en esta última ecuación obtenemos [math]2c+a = 4c-4a+3, es decir [math]5a = 2c+3. De aquí se deduce en particular que [math]a es impar. Sea [math]a = 2t+1 con [math]t \in \mathbb N_0. Entonces [math]10t+5 = 2c+3, de donde [math]c = 5t+1 y [math]b = 10t+2 - 4t - 2 + 1 = 6t + 1. Si [math]t > 0 esto contradice la suposición de que [math]c es el mayor de los tres números. Por lo tanto debe ser [math]t=0, lo cual conduce a la terna [math](1,1,1), que es fácil verificar que cumple las condiciones.
Caso 2: [math]b \leq a
En este caso tenemos que [math]2c + 1 = 2a + b \leq 3a, luego [math]2c \leq 3a - 1 < 4a \Rightarrow c < 2a. Por lo tanto, [math]a^2 < a^2 + 2b + c \leq a^2 + 2a + 2a = a^2+4a < a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2. Por el mismo argumento de antes se ve que [math]\boxed{2b+c = 2a+1}.
Despejamos [math]c = 2a-2b+1 y lo reemplazamos en la ecuación del principio, obteniendo [math]2a+b = 4a-4b+2+1, es decir [math]2a = 5b-3. De aquí se deduce en particular que [math]b es impar. Sea [math]b = 2t+1 con [math]t \in \mathbb N_0. Entonces [math]2a = 10t+2 \Rightarrow a = 5t+1, y [math]c = 10t+2 - 4t - 2 + 1 = 6t+1. Es decir que [math](a,b,c) = (5t+1,2t+1,6t+1) para cierto [math]t \in \mathbb N_0. Para ver los posibles valores de [math]t usamos la tercera condición que es que [math]b^2+2c+a debe ser un cuadrado perfecto. En términos de [math]t esto es [math](2t+1)^2 + 12t+2 + 5t+1 = 4t^2 + 21t + 4.
Si [math]t=0 obtenemos nuevamente la terna [math](1,1,1) que ya consideramos, así que supongamos [math]t > 0. Entonces se tiene que la expresión anterior es estrictamente mayor que [math]4t^2 + 8t + 4 = (2t+2)^2, y estrictamente menor que [math]4t^2 + 24t + 36 = (2t+6)^2. Entonces [math]4t^2 + 21t + 4 = (2t+x)^2 con [math]x \in \{3,4,5\}.
Si [math]x=3 llegamos a que [math]21t+4 = 12t + 9 \Rightarrow 9t = 5, que no tiene soluciones enteras;
Si [math]x=4 llegamos a que [math]21t+4 = 16t + 16 \Rightarrow 5t = 12 que no tiene soluciones enteras;
Si [math]x=5 llegamos a que [math]21t+4 = 20t + 25 \Rightarrow t = 21 \Rightarrow (a,b,c) = (106,43,127).
Cubiertos todos los casos, vemos que las únicas ternas que cumplen la condición del enunciado son [math](1,1,1), [math](106,43,127), y sus permutaciones cíclicas [math](43,127,106) y [math](127,106,43). [math]\blacksquare
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Como tenemos [math]3 elementos, sin pérdida de generalidad podemos asumir que [math]c es el mayor. Puede pasar que [math]a\leq b \leq c o que [math]b\leq a\leq c (notar que no es indiferente el orden entre [math]a y [math]b ya que en un caso [math]c^2+2b+a está sumándole al cuadrado del más grande el doble del intermedio, y en el otro caso le está sumando el doble del más chico. (ya se que ambos casos no son disjuntos, pero entre ambos casos cubren la totalidad de los casos).
Analicemos ambos casos:
CASO 1: [math]a\leq b \leq c
Como [math]a,b,c son enteros positivos, vale que [math]c^2<c^2+2a+b\leq c^2+3c<c^2+4c+4=(c+2)^2, luego [math]c^2+2a+b=(c+1)^2 es la única opción, con lo que [math]2a+b=2c+1, que es lo mismo que [math]2c=2a+b-1.
Ahora tomamos la expresión [math]b^2+2c+a y reemplazamos [math]2c, queda que [math]b^2+3a+b-1 es cuadrado perfecto, como [math]0<3a+b-1, temos que [math]b^2<b^2+3a+b-1<b^2+4b+4=(b+2)^2, luego [math]b^2+3a+b-1=(b+1)^2, pero por otro lado [math]2b \leq 2c y [math]1\leq a con lo que [math]2b+1=2c+a si y solo si [math]b=c y [math]a=1, pero entonces [math]c^2 < c^2+2+c \leq c^2+2c+1=(c+1)^2 es cuadrado perfecto, con lo que [math]2+c=2c+1, de donde [math]c=1 y queda [math]c=b=a=1, luego la terna [math](1,1,1) sirve y no hay más nada que analizar de este caso.
CASO 2: [math]b\leq a \leq c
Como [math]a,b,c son enteros positivos, vale que [math]c^2<c^2+2a+b<c^2+3c<c^2+4c+4=(c+2)^2, luego [math]c^2+2a+b=(c+1)^2 es la única opción, con lo que [math]2a+b=2c+1, que es lo mismo que [math]c=\frac{2a+b-1}{2}[math](1). Ahora vamos a la expresión [math]a^2+2b+c y reemplazamos [math]c y queda que [math]a^2+\frac{5}{2}b+a-\frac{1}{2} debe ser cuadrado perfecto, luego [math]a^2<a^2+\frac{5}{2}b+a-\frac{1}{2} <a^2+3a+a-\frac{1}{2}< a^2+4a+4=(a+2)^2, con lo que nos queda [math]\frac{5}{2}b+a-\frac{1}{2}=2a+1, despejando [math]a nos queda [math]\frac{5}{2}b-\frac{3}{2}=a, y volviendo a [math](1) queda [math]c=3b-2. Ahora vamos a la expresión [math]b^2+2c+a y reemplazamos [math]a y [math]c, y queda que [math]b^2+\frac{17}{2}b-\frac{11}{2} tiene que ser un cuadrado perfecto, luego [math]b^2<b^2+\frac{17}{2}b-\frac{11}{2}<b^2+10b+25=(b+5)^2. Con lo que [math]b^2+\frac{17}{2}b-\frac{11}{2} puede valer [math](b+1)^2, (b+2)^2, (b+3)^2 o [math](b+4)^2. Analicemós los casitos, teniendo en cuenta que las [math]b^2 se cancelan al despejar:
[math]b^2+\frac{17}{2}b-\frac{11}{2}=(b+1)^2 queda [math]b=1, con lo que [math]a=1 y [math]c=1.
[math]b^2+\frac{17}{2}b-\frac{11}{2}=(b+2)^2, queda [math]b=\frac{19}{9}, no sirve por no ser entero.
[math]b^2+\frac{17}{2}b-\frac{11}{2}=(b+3)^2, queda [math]b=\frac{29}{5}, no sirve por no ser entero.
Supongamos que simultáneamente pasa que [math]a^2+2b+c \geq (a+2)^2 = a^2+4a+4, que [math]b^2+2c+a \geq (b+2)^2 = b^2+4b+4 y que [math]c^2+2a+b \geq (c+2)^2 = c^2+4c+4, luego sale que [math]2b+c \geq 4a+4, que [math]2c+a \geq 4b+4 y que [math]2a+b \geq 4c+4: sumando todo queda que [math]3a+3b+3c \geq 4a+4b+4c+12, lo cual es un claro absurdo. Luego [math]a^2+2b+c=(a+1)^2 o [math]b^2+2c+a=(b+1)^2 o [math]c^2+2a+b=(c+1)^2. Dado que si una terna [math](a,b,c) cumple, también van a cumplir [math](b,c,a) y [math](c,a,b), podemos suponer sin pérdida de generalidad que [math]a^2+2b+c=(a+1)^2=a^2+2a+1, de donde [math]2b+c=2a+1, o sea que [math]c=2a+1-2b. Ahora supongamos que [math]b^2+2c+a \geq (b+2)^2 = b^2+4b+4 y que [math]c^2+2a+b \geq (c+2)^2 = c^2+4c+4, de esto sale que [math]2c+a \geq 4b+4 y que [math]2a+b \geq 4c+4; reemplazando a [math]c en ambas llegamos a que [math]5a \geq 8b+2 y que [math]9b \geq 6a+8, sumando ambas y reacomodando llegamos a que [math]2b \geq 2a+20, de donde [math]2b+c=2a+1 \geq 2a+20+c, o sea que [math]1 \geq 20+c, lo que es absurdo. Es decir que [math]b^2+2c+a=(b+1)^2 o [math]c^2+2a+b=(c+1)^2.
1º caso: [math]b^2+2c+a=(b+1)^2=b^2+2b+1
Tenemos que [math]c=2a+1-2b y que [math]2c+a=2b+1, de donde [math]b=\frac{5a+1}{6}. Luego poniendo [math]c^2+2a+b=(c+k)^2=c^2+2kc+k^2, con k entero positivo, tenemos que [math]2a+b=2kc+k^2, de donde reemplazando a [math]b y a [math]c se llega a que [math]17a+1=6k^2+4ak+8k. Como [math]6k^2 es positivo, debe ser [math]17a+1 \geq 4ak+8k, o sea [math]4 \geq k. Probando para qué valores de [math]k entero dan [math]a,b,c enteros se llega a la solución [math]1,1,1 y a la solución [math]127,106,43.
2º caso: [math]c^2+2a+b=(c+1)^2=c^2+2c+1
Tenemos que [math]c=2a+1-2b y que [math]2a+b=2c+1, de donde [math]b=\frac{2a+3}{5}. Luego poniendo [math]b^2+2c+a=(b+k)^2=b^2+2kb+k^2, con k entero positivo, tenemos que [math]2c+a=2kb+k^2, de donde reemplazando a [math]b y a [math]c se llega a que [math]17a+6=5k^2+4ak+2k. Como [math]5k^2 es positivo, debe ser [math]17a+6 \geq 4ak+2k, o sea [math]4 \geq k. Probando para qué valores de [math]k entero dan [math]a,b,c enteros no se llega a ninguna solución.
Luego, las ternas que son solución al problema son [math]1,1,1, [math]127,106,43, [math]106,43,127, [math]43,127,106.
