Si los números naturales [math]a, [math]b, [math]c, [math]d verifican las relaciones: [math](a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2 [math](a^2+d^2)(b^2+c^2)=(ad+bc)^2
y el máximo común divisor de [math]a, [math]b, [math]c, [math]d es [math]1, demostrar que [math]a+b+c+d es un cuadrado perfecto.
Sea [math]x=ac-bd, [math]y=ad+bc, [math]z=ab+cd. Entonces [math]x^2+y^2=z^2 y [math]z^2+x^2=y^2. De esas dos ecuaciones surge [math]x^2=0 y [math]y^2=z^2, de donde [math]ac=bd y [math]ad+bc=ab+cd.
Despejando de la primera se tiene [math]d=\frac{ac}{b}, reemplazando en la otra se llega a [math]ac^2-\left (a^2+b^2\right )c+ab^2=0. El polinomio [math]aX^2-\left (a^2+b^2\right )X+ab^2 tiene discriminante [math]\left (a^2+b^2\right )^2-4a^2b^2=\left (a^2-b^2\right )^2, de donde [math]c=\frac{a^2+b^2\pm \left (a^2-b^2\right )}{2a}, de donde [math]c=a o bien [math]c=\frac{b^2}{a}.
Si [math]c=a entonces [math]d=\frac{a^2}{b}. Entonces [math]b\mid a^2. Sea [math]p un divisor primo de [math]b. Entonces [math]p\mid a=c, por lo tanto [math]p\nmid \frac{a^2}{b} porque sino dividiría a los cuatro números [math]a,b,c,d, contradiciendo la hipótesis. Por lo tanto [math]0=v_p\left (\frac{a^2}{b}\right )=v_p\left (a^2\right )-v_p\left (b \right ), de donde [math]2v_p\left (a\right )=v_p\left (b\right ), en particular [math]b es un cuadrado perfecto ya que los exponentes de todos sus divisores primos son pares. De esto se sigue que
que claramente es un cuadrado perfecto pues [math]b lo es.
Supongamos ahora que [math]c=\frac{b^2}{a}. Reemplazando en [math]ac=bd obtenemos [math]b=d y se procede análogamente al caso anterior para demostrar que [math]a es un cuadrado perfecto y que [math]a+b+c+d=\frac{\left (a+b\right )^2}{a}.
