FOFO de Pascua 2017 - Problema 1

FOFO de Pascua 2017 - Problema 1

UNREAD_POSTpor Luli97 » Jue 13 Abr, 2017 4:42 am

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC$ y $AC>BC$, llamemos $M$ al punto medio del lado $AC$ y marquemos un punto $D$ en el segmento $AB$ de manera que $BC = CD$. Sabiendo que $AC=BD$, demostrar que entonces se cumple que $\angle BAC=2\angle ABM$.
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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 1

UNREAD_POSTpor MateoCV » Dom 16 Abr, 2017 9:22 pm

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Sea $N$ el punto medio de $BD$ Tenemos que $BN=ND=CM=AM=l$ Como $BCD$ es isósceles, $NC$ es la altura y $\angle DNC$ es recto. Luego $ANC$ es un triángulo rectángulo y como $M$ es punto medio de la hipotenusa $NM=l$. De esta forma, $BNM$ es isóceles y $\angle MBA=\angle NMB=\alpha$ y por ángulos exteriores $\angle MNA=2\alpha$ y como $AMN$ es isóceles $\angle NAM=\angle BAC=2\alpha$ y como $\angle MBA=\alpha$ queda demostrado que $\angle BAC=2\angle MBA$
$2^{74207281}-1$ es primo
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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 1

UNREAD_POSTpor Mazzo » Dom 16 Abr, 2017 9:32 pm

Me ganaste de mano:
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Sea $E$ el punto medio de $DB$. Como $BC=CD$ por enunciado, entonces $CE \perp DB$. Luego, $EM$ es la mediana correspondiente a la hipotenusa del triángulo rectángulo $AEC$, lo que implica que $C\widehat{A}B=M\widehat{E}A$. Entonces, $M\widehat{E}C=90°-C\widehat{A}B$, y como el triángulo $MEB$ es isósceles con $ME=EB$, $E\widehat{M}B=A\widehat{B}M=\frac{180°-90°-(90°-C\widehat{A}B)}{2}=\frac{C\widehat{A}B}{2}$, que es equivalente a demostrar lo que queríamos.
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