FOFO de Pascua 2017 - Problema 2

[Fran5]

En una extraña comunidad del país de Numeristán, el sistema numérico más común utiliza una base distinta a la decimal. Cuatro de los habitantes de esta comunidad, Astor, Brian, Carlos y Demetrio hablan español y nos han podido contar algunas cosas sobre el sistema en cuestión:

• Astor: 18 y 41 son ambos números primos
• Brian: 7 veces 8 es igual a 62
• Carlos: 35 también es un número primo
• Demetrio: 63 es divisible por 4, y el cociente es par

Sabiendo que al menos dos de los habitantes están diciendo la verdad, ¿es posible saber cuál es la base que el sistema de ellos utiliza?

[Gianni De Rico]

Spoiler: mostrar

Demetrio miente, dado que sin importar su base, 63 siempre será un número impar ya que a [math]6b, que claramente es par, le estamos sumado un número impar.

Notemos que o bien el enunciado de Astor es verdadero, o el de Carlos lo es, pero no pueden serlo los dos al mismo tiempo, ya que si Astor está diciendo la verdad, la base necesariamente tiene que ser impar, ya que de otra forma 18 será par y por lo tanto no será primo. Mientras que si es Carlos quien dice la verdad, la base debe ser par, ya que sino 35 será par y no podrá ser primo. En cualquier caso, tenemos dos enunciados falsos y podemos afirmar que Brian dice la verdad.

Entonces:
[math]{7\times 8}={56}={62_b}={6b+2}\Rightarrow {54}={6b}\Rightarrow {b}=9

Veamos además que Astor decía la verdad ya que [math]18_{(9)}=9+8=17 (que es primo), y [math]41_{(9)}={4\times 9}+1=36+1=37 (que también es primo).

Por lo que es posible saber que el sistema de Numeristán utiliza base 9.

[Mazzo]

Lo mismo:

Spoiler: mostrar

Sea [math]b la base en cuestión y [math](A), [math](B), [math](C) y [math](D) lo que dice Astor, Brian, Carlos y Demetrio respectivamente. Entonces las mismas pueden ser escritas equivalentemente como:
[math](A): [math]b+8 y [math]4b+1 son primos
[math](B): [math]7.8=6b+2
[math](C): [math]3b+5 es primo
[math](D): [math]63=4k
Ahora bien, [math](D) es claramente falsa. Por otro lado, para que [math](A) sea verdadera [math]b tiene que ser impar, y para que [math](C) sea verdadera, [math]b tiene que ser par. Entonces una es verdadera y la otra es falsa. Pero como de [math](B) se obtiene [math]b=9, [math](A) es verdadera, [math](B) falsa y la solución está completa.