FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

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Vladislao

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FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 13 Abr, 2017 4:44 am

Hallar todos los números primos [math] y [math] tales que
[math]
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 8:28 pm

Spoiler: mostrar
[math]
[math]
[math]

Es inmediato notar que [math][math]

[math]
Por lo que [math][math]

[math]
[math]

[math]
Por lo tanto [math][math][math] [math]

De [math] y [math] se obtiene que [math] y [math] deben ser consecutivos, por lo tanto:

[math]
[math]

Pero vemos que [math]

Por lo que podemos afirmar que no existen los [math] y [math] que cumplan esa condición.
[math]

xyz

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

Mensaje sin leer por xyz » Dom 16 Abr, 2017 8:53 pm

y p=7, q=3? Mi solución no era linda igual :D

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Gianni De Rico

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 9:11 pm

xyz escribió:y p=7, q=3? Mi solución no era linda igual :D
Seh, ya me comentaron eso, pero no sabía cómo demostrar que era el único par válido, así que directamente mandé mi solución.
[math]

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cami_leona

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

Mensaje sin leer por cami_leona » Dom 16 Abr, 2017 9:15 pm

No sé si la demostración es correcta, pero ahí va lo que pensé:
Spoiler: mostrar
Primero desarrollo la ecuación un poco:
[math]
[math]
[math]
Ahora voy a demostrar que [math] ya que debe ser un múltiplo de [math]:
Desde ahora escribo los números en forma de restos en la división por [math]

CASO 1: Si [math] :
[math]
[math]

CASO 1.A: Si [math]:
[math]
[math]

CASO 1.B: Si [math]:
[math]
[math]

CASO 1.C: Si [math]:
[math]
[math]
[math]

CASO 2:
Si [math] :
[math]
[math]

CASO 2.A:
Si [math]:
[math]
[math]
Ahora compruebo que [math]:
[math]
[math]
[math]
En este caso, por lo menos [math] entonces es absurdo.

CASO 2.B:
Si [math]:
[math]
[math]

CASO 2.C:
Si [math]:
[math]
[math]
[math]

Entonces el único caso que queda es que [math] y como [math] es primo, [math]
Ahora veamos que si [math] , [math]
[math]
[math]
[math]

Por ello concluimos que los únicos [math] y [math] primos tales que [math] son [math] y [math]

tomas6789

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

Mensaje sin leer por tomas6789 » Dom 16 Abr, 2017 9:19 pm

Originalmente tenemos:
P3-Q5 = (P+Q)2
empesamos suponiendo a P y Q diferentes de 3
hay 3 opciones, que P sea congruente a 1 modulo y, que Q sea congruente a 2 modulo 3 o que P sea congruente a 2 modulo 3 y que Q sea congruente a 1 modulo 3 o que Q sea congruente a P modulo 3:
como sabemos que: P3-Q5 = (P+Q)2, sabemos que ambas son congruentes entre si modulo 3.
Tomemos el primer caso:
Queda que la primer ecuacion es congruente a 2 modulo 3 y que la segunda es congruente a 0 modulo 3.
En el segundo caso:
Queda que la primer ecuacion es congruente a 1 modulo 3 y que la segunda es congruente a 0 modulo 3.
y en el ultimo caso:
Queda la primer ecuacion congrunete a 0 modulo 3 y en la segunda ecuacion quedan congruentes a 1 modulo 3.

Como ninguno de estos casos funciona significa que P o Q es 3. Sabemos que P3>Q5 ya que sino el resultado seria negativo y (P+Q)2 no podria estar compuesto por numeros primos.
El unico caso que cumpliria esta condicion seria P=3 Q=1, pero no verifica lo acordado, por ende, Q=3.
Entonces ahora tenemos que:
P3-243 = (P+3)2
Pasamos P+3 dividiendo y nos queda que:
P+3/P3-243 P+3/P3+3P2
P+3/243+3P2 P+3/3P2+9P
P+3/243-9P P+3/9P+27
P+3/270

El unico numero que hace a P primo de los siguientes es P=7 el cual verifica.
343-243=(7+3)2
(Disculpen que no se escribir con los codigos)

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MateoCV

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

Mensaje sin leer por MateoCV » Dom 16 Abr, 2017 9:20 pm

Spoiler: mostrar
Es claro que [math] porque si [math] entonces [math] y [math] lo cual es imposible porque el lado derecho es un cuadrado
Ahora vemos módulo [math] (Todas las siguientes congruencias son módulo [math]). Supongamos que ninguno de los dos es igual a [math]. Luego [math] y [math] y de la misma forma [math] Por lo que [math]. Por lo que si [math] entonces el lado de derecho es divisible por [math] pero [math] y como [math] no es [math] eso no puede pasar. Si [math] y [math] tienen el distinto resto, uno tendrá resto [math] y el otro [math] por lo que [math] lo que implica que [math] lo cual claramente no pasa. Luego al menos uno de los dos es [math]. Si [math] entonces [math] (por ser menor) y queda que [math] lo cual es claramente es mentira. Luego [math] y reemplazando [math] que es lo mismo que [math] y como [math] y es mayor a [math] la única posibilidad es [math] y es fácil ver que verifica. Así, queda demostrado que el único par de primos que cumple es [math] y [math]
2  
[math] es primo

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