FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Vladislao » Jue 13 Abr, 2017 4:44 am

Hallar todos los números primos $p$ y $q$ tales que


$$p^3-q^5 = (p+q)^2.$$


Sea $\theta = 1,3063778838...$ Para todo entero positivo $k$ se cumple que $\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor$ es un número primo.
Avatar de Usuario
Vladislao
 
Mensajes: 776
Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
Ubicación: Córdoba
Medals: 6
Colaborador OFO - Jurado OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
OFO - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Nivel: Exolímpico

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 8:28 pm

Spoiler: Mostrar
$p^3-q^5=(p+q)^2$
$p^3-q^5=p^2+2pq+q^2$
$p^3-p^2=q^5+q^2+2pq$

Es inmediato notar que $q<p$$(1)$

${q|p^2(p-1)}\Rightarrow {q|(p-1)}$
Por lo que $p$$1(q)$

$p^3-p^2-2pq=q^5+q^2$
$p^3-p^2-2pq=q^2(q^3+1)$

$p|q^2(q^3+1)\Rightarrow {p|(q^3+1)}$
Por lo tanto $q^3$$-1(p)\Rightarrow q$$-1(p)$ $(2)$

De $(1)$ y $(2)$ se obtiene que $p$ y $q$ deben ser consecutivos, por lo tanto:

$p=3$
$q=2$

Pero vemos que $3^3-2^5=27-32=-5\neq (3+2)^2=5^2=25$

Por lo que podemos afirmar que no existen los $p$ y $q$ que cumplan esa condición.
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$
Avatar de Usuario
Gianni De Rico
 
Mensajes: 17
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Nivel: 3

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

UNREAD_POSTpor xyz » Dom 16 Abr, 2017 8:53 pm

y p=7, q=3? Mi solución no era linda igual :D

xyz
 
Mensajes: 24
Registrado: Jue 11 Jun, 2015 8:30 pm
Medals: 3
OFO - Medalla de Bronce FOFO 6 años - Mención Especial FOFO Pascua 2017 - Medalla
Nivel: 2

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 9:11 pm

xyz escribió:y p=7, q=3? Mi solución no era linda igual :D


Seh, ya me comentaron eso, pero no sabía cómo demostrar que era el único par válido, así que directamente mandé mi solución.
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$
Avatar de Usuario
Gianni De Rico
 
Mensajes: 17
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Nivel: 3

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

UNREAD_POSTpor cami_leona » Dom 16 Abr, 2017 9:15 pm

No sé si la demostración es correcta, pero ahí va lo que pensé:
Spoiler: Mostrar
Primero desarrollo la ecuación un poco:
$p^3-q^5 = (p+q)^2$
$p^3-q^5 = p^2+2pq+q^2$
$p^3-p^2-2pq = q^2+q^5$
Ahora voy a demostrar que $q = 3$ ya que debe ser un múltiplo de $3$:
Desde ahora escribo los números en forma de restos en la división por $3$

CASO 1: Si $q\equiv1 \pmod{3}$ :
$p^3-p^2-2p = 1+1$
$p^3-p^2-2p = 2$

CASO 1.A: Si $p\equiv1 \pmod{0}$:
$0-0-0 = 2$
$0\neq 2$

CASO 1.B: Si $p\equiv1 \pmod{1}$:
$1-1-2 = 2$
$1\neq 2$

CASO 1.C: Si $p\equiv1 \pmod{2}$:
$2^3-2^2-2\times 2 = 2$
$8-4-4 = 2$
$0\neq 2$

CASO 2:
Si $q\equiv2 \pmod{3}$ :
$p^3-p^2-p = 4+32$
$p^3-p^2-p = 0$

CASO 2.A:
Si $p\equiv0 \pmod{3}$:
$0-0-0=0$
$0=0$
Ahora compruebo que $p\neq 3$:
$3^3-3^2-6q = q^2+q^5$
$27-9 = q^2+q^5+6q$
$18= q^2+q^5+6q$
En este caso, por lo menos $q<2$ entonces es absurdo.

CASO 2.B:
Si $p\equiv1 \pmod{3}$:
$1-1-1=0$
$2\neq 0$

CASO 2.C:
Si $p\equiv2 \pmod{3}$:
$2^3-2^2-2=0$
$8-4-2=0$
$2\neq 0$

Entonces el único caso que queda es que $q\equiv0 \pmod{3}$ y como $q$ es primo, $q=3$
Ahora veamos que si $q=3$ , $p=7$
$7^3-3^5= (7+3)^2$
$343-243= 10^2$
$100=100$

Por ello concluimos que los únicos $p$ y $q$ primos tales que $p^3-q^5 = (p+q)^2$ son $p=7$ y $q=3$
Avatar de Usuario
cami_leona
 
Mensajes: 24
Registrado: Sab 21 Sep, 2013 8:32 pm
Medals: 3
OFO - Medalla de Bronce OFO - Medalla de Bronce FOFO Pascua 2017 - Mención
Nivel: 2

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

UNREAD_POSTpor tomas6789 » Dom 16 Abr, 2017 9:19 pm

Originalmente tenemos:
P3-Q5 = (P+Q)2
empesamos suponiendo a P y Q diferentes de 3
hay 3 opciones, que P sea congruente a 1 modulo y, que Q sea congruente a 2 modulo 3 o que P sea congruente a 2 modulo 3 y que Q sea congruente a 1 modulo 3 o que Q sea congruente a P modulo 3:
como sabemos que: P3-Q5 = (P+Q)2, sabemos que ambas son congruentes entre si modulo 3.
Tomemos el primer caso:
Queda que la primer ecuacion es congruente a 2 modulo 3 y que la segunda es congruente a 0 modulo 3.
En el segundo caso:
Queda que la primer ecuacion es congruente a 1 modulo 3 y que la segunda es congruente a 0 modulo 3.
y en el ultimo caso:
Queda la primer ecuacion congrunete a 0 modulo 3 y en la segunda ecuacion quedan congruentes a 1 modulo 3.

Como ninguno de estos casos funciona significa que P o Q es 3. Sabemos que P3>Q5 ya que sino el resultado seria negativo y (P+Q)2 no podria estar compuesto por numeros primos.
El unico caso que cumpliria esta condicion seria P=3 Q=1, pero no verifica lo acordado, por ende, Q=3.
Entonces ahora tenemos que:
P3-243 = (P+3)2
Pasamos P+3 dividiendo y nos queda que:
P+3/P3-243 P+3/P3+3P2
P+3/243+3P2 P+3/3P2+9P
P+3/243-9P P+3/9P+27
P+3/270

El unico numero que hace a P primo de los siguientes es P=7 el cual verifica.
343-243=(7+3)2
(Disculpen que no se escribir con los codigos)

tomas6789
 
Mensajes: 5
Registrado: Sab 08 Oct, 2016 9:36 pm
Medals: 1
OFO - Mención
Nivel: 3

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 3

UNREAD_POSTpor MateoCV » Dom 16 Abr, 2017 9:20 pm

Spoiler: Mostrar
Es claro que $p>q$ porque si $p\leq q$ entonces $p^3\leq q^3 < q^5$ y $p^3-q^5<0$ lo cual es imposible porque el lado derecho es un cuadrado
Ahora vemos módulo $3$ (Todas las siguientes congruencias son módulo $3$). Supongamos que ninguno de los dos es igual a $3$. Luego $p^2\equiv 1$ y $p^3\equiv p$ y de la misma forma $q^5\equiv q^3\equiv q$ Por lo que $p^3-q^5\equiv p-q$. Por lo que si $p\equiv q$ entonces el lado de derecho es divisible por $3$ pero $(p+q)^2\equiv (2p)^2$ y como $p$ no es $3$ eso no puede pasar. Si $p$ y $q$ tienen el distinto resto, uno tendrá resto $1$ y el otro $2$ por lo que $3|(p+q)^2$ lo que implica que $3|p-q$ lo cual claramente no pasa. Luego al menos uno de los dos es $3$. Si $p=3$ entonces $q=2$ (por ser menor) y queda que $27-32=25$ lo cual es claramente es mentira. Luego $q=3$ y reemplazando $p^3-243=(p+3)^2$ que es lo mismo que $p^3-p^2-6p=252=2^2\times 3^2\times 7$ y como $p|252$ y es mayor a $3$ la única posibilidad es $p=7$ y es fácil ver que verifica. Así, queda demostrado que el único par de primos que cumple es $p=7$ y $q=3$
$2^{74207281}-1$ es primo

A 2 personas les gusta este mensaje.
Avatar de Usuario
MateoCV
 
Mensajes: 141
Registrado: Vie 18 Dic, 2015 12:35 am
Ubicación: Córdoba
Medals: 4
OFO - Medalla de Bronce FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2017 - Medalla
Nivel: 2


Volver a Problemas

¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 1 invitado