FOFO de Pascua 2017 - Problema 4

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Luli97

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FOFO de Pascua 2017 - Problema 4

Mensaje sin leer por Luli97 » Jue 13 Abr, 2017 4:45 am

Hallar todos los pares de enteros positivos [math] tales que el último dígito de [math] es [math], [math] es un número primo y [math] es un cuadrado perfecto.

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Gianni De Rico

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 8:29 pm

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Afirmo que el par [math] es el único que cumple las condiciones del problema.

Llamaremos [math] a la condición de que el último dígito de [math] es [math], [math] a la condición de que [math] es primo, y [math] a la condición de que [math] es un cuadrado perfecto.

Notemos un par de cosas, primero, que el último dígito de un número es su congruencia en módulo 10. Por ejemplo: [math]. Por lo que [math]. Y que [math] y [math] tienen distinta paridad, ya que si no fuera así, [math]. [math]
De lo anterior deducimos que [math].

Veamos que también que [math]. [math]
De [math] y [math] se obtiene que o bien [math] o [math].

Caso [math]:

Si [math] entonces [math] para [math], pero [math] o [math] para [math].

Si [math] entonces [math] para [math], pero [math] o [math] para [math].

Si [math] entonces [math] para [math], pero [math] o [math] para [math].

Si [math] entonces [math] para [math], pero [math] o [math] para [math].

Si [math] entonces [math] para [math], pero [math] o [math] para [math].

Por [math] sabemos que [math] no puede ser par.

Vemos que [math] tiene que tener distinta congruencia en módulo [math] para cumplir las dos condiciones a la vez, por lo que no es posible que eso ocurra, los únicos casos para los que [math] puede tener la congruencia necesaria para [math] sin ningún tipo de limitación es cuando [math] es un cuadrado perfecto, y por lo tanto [math] también debe serlo, pero salvo en el caso [math] notamos que es imposible porque o bien [math] o [math] no son congruentes a un residuo cuadrático en módulo [math].
Para el caso [math] vemos que [math] por lo que sólo sería válido si [math], pero tanto [math] como [math] son cuadrados perfectos, y es conocido que los únicos cuadrados perfectos cuya diferencia es [math] son [math] y [math]. Y como estos números no cumplen, podemos afirmar que [math] no divide a [math].

Entonces 4|b

Si [math] entonces [math] para [math], pero para eso [math] tendría que poder descomponerse en una potencia de [math] y un [math] o [math], pero eso significaría que o bien [math] es un cuadrado, o [math] o [math], y eso es imposible. Para que [math] pudiera tomar cualquier valor, [math] tendría que ser un cuadrado perfecto, por lo que [math] también debería serlo, pero eso es imposible, ya que [math] no es un residuo cuadrático en módulo [math].

Por [math] sabemos que [math].

Si [math] entonces [math] para [math], pero para eso [math] tendría que poder descomponerse en una potencia de [math] y un [math] o [math], pero como ninguno es un residuo cuadrático en módulo [math] entonces [math], pero en ese caso es obvio que [math] no es primo, ya que [math] y entonces o bien [math] o existe un [math] que divide a [math]. Por lo que [math] nunca podrá ser primo. Para que [math] pudiera tomar cualquier valor, [math] tendría que ser un cuadrado, pero eso es imposible ya que [math] no es un residuo cuadrático en módulo [math].


Si [math] entonces [math] para [math], pero en ese caso el único par válido sería [math]; ya que para cualquier otro caso, [math] tendría que poder descomponerse en una potencia de [math] y un [math] y [math] o [math], pero para eso o bien [math] y [math] son cuadrados, por lo que [math] y [math], o [math], pero en ese caso es obvio que [math] no es primo, ya que [math] y entonces o bien [math] o existe un [math] que divide a [math], pero esto último no es posible, ya que en ese caso [math] o [math] lo que es una contradicción, por lo tanto [math] y [math] nunca puede ser primo.

Si [math] entonces [math] para [math], pero para eso [math] tendría que poder descomponerse en una potencia de 4 y un [math] o [math], si [math] no es un cuadrado entonces [math] tampoco lo es, y [math], pero en ese caso es obvio que [math] no sería primo, ya que [math] y [math], y además [math] y entonces o bien [math] y [math] o existe un [math] tal que [math] y [math] que divide a [math]. Por lo que [math] nunca podrá ser primo. Para que [math] pudiera tomar cualquier valor, [math] tendría que ser un cuadrado, pero eso implicaría que [math] es un cuadrado, y eso es imposible ya que [math] no es un residuo cuadrático en módulo [math].

Si [math] entonces [math] para [math], pero para eso [math] tendría que poder descomponerse en una potencia de [math] y un [math] o [math], por lo que [math], pero en ese caso es obvio que [math] no sería primo, ya que [math] y entonces o bien [math] o existe un [math] que divide a [math]. Por lo que [math] nunca podrá ser primo. Para que [math] pudiera tomar cualquier valor, [math] tendría que ser un cuadrado, pero eso es imposible ya que [math] no es un residuo cuadrático en módulo [math].

Por lo que queda demostrado que el único par que cumple con las condiciones es (9,4).
[math]

jujumas

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 4

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 16 Abr, 2017 9:40 pm

Una más corta
Solución:
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Vamos a empezar viendo que [math] y [math] son cuadrados perfectos. Para esto, usemos que [math] con [math] primo y [math] con [math] entero positivo (ya que [math] y [math] son enteros positivos). Luego, supongamos que [math] es el máximo común divisor entre [math] y [math]. Tenemos entonces que [math], de donde [math], lo que implica que [math] o [math].

Si [math], tenemos que [math] y [math], con [math] y [math] coprimos, y como [math], [math], y como [math] es un cuadrado perfecto, tenemos que [math] es un cuadrado perfecto, de donde [math] debe ser un cuadrado perfecto, ya que todos los exponentes en la factorización de primos de [math] tienen exponente par, lo que implica lo mismo para [math], pero como [math] y [math] son coprimos, tanto [math] como [math] son cuadrados perfectos, pero como su diferencia es [math], tenemos por diferencia de cuadrados que [math] es igual a [math], lo que implica que [math] y [math] sean [math] ya que ambos son enteros, de donde [math] debe ser [math]. Absurdo, porque [math] debe ser entero positivo.

Si [math], tenemos que [math] y [math] son coprimos, de donde por lo que vimos antes, [math] y [math] son cuadrados perfectos. Luego, podemos reescribir [math] como [math] y [math] como [math], y tenemos que [math], de donde por diferencia de cuadrados implica que [math], y como [math] es primo, uno de los términos [math] o [math] debe ser [math] y el otro primo, ya que son ambos enteros no negativos. Como [math] es necesariamente menor a [math], ya que [math] e [math] no pueden ser iguales, ya que sinó [math] sería [math], tenemos que [math], de donde [math] y [math] son cuadrados perfectos consecutivos.

Analicemos ahora la expresión módulo [math]. Sabemos que [math] y [math] son cuadrados perfectos consecutivos con suma de restos módulo [math] igual a [math]. Veamos entonces el ciclo de los residuos cuadráticos módulo [math], que sabemos que existe ya que si [math] e [math] tienen el mismo resto módulo [math], tenemos que [math] divide a [math], de donde también divide a [math], que es igual a [math], de donde [math] e [math] también tienen el mismo resto. Luego, al haber [math] restos módulo [math], el ciclo tiene longitud de como mucho [math], y, viendo los primeros [math] cuadrados perfectos, notamos que estos residuos son [math], [math], [math], [math], [math], [math], [math], [math], [math], [math]. De acá podemos ver que las única suma de residuos consecutivos que da resto [math] son [math] y [math], al igual que [math] y [math]. Luego, sabemos que entre [math] y [math], uno tiene de dígito de las unidades al número [math], y otro al [math]. Notemos que esto implica entonces que [math] termina en [math], de donde [math] divide a [math], y [math] es múltiplo de [math], de donde [math]. Luego, [math] y [math] son cuadrados perfectos con diferencia [math], lo que nos da que [math], que implica que [math] y [math], de donde [math] y [math], por lo que [math] y [math]. Para ver que esta pareja verifica entonces, basta notar que [math], que termina en [math], [math], que es primo, y [math], que es igual a [math], por lo que estamos.

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davisbeckam18

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 4

Mensaje sin leer por davisbeckam18 » Dom 16 Abr, 2017 10:01 pm

Parecido. Solución:
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Respuesta: [math] [math] [math]

Es claro que [math] y [math] son de distinta paridad (ya que su suma es impar). En todos los casos "[math]" es un número primo.

[math] Caso 1: Si [math] y [math] son PESI.

Como [math] es un cuadrado perfecto, entonces [math] y [math]. Además, [math] [math] [math] [math] [math]. Entonces [math] y [math]. Utilizando que el último dígito de [math], tenemos que [math] [math] [math]. Viendo todas las posibilidades concluimos que [math] [math] [math] o [math] [math] [math].

[math] Subcaso 1: Si [math] es impar y [math] es par.

Como [math] es par nos quedamos con la primera opción, pero resultaría que [math] [math] [math]. Concluimos en este caso que [math] ; [math] ; [math] ; [math].

[math] Subcaso 2: Si [math] es par y [math] es impar.

Como [math] es par nos quedamos con la segunda opción, pero resultaría que [math] [math] [math]. Como los posibles valores de [math] son [math], entonces los posibles valores de [math] son [math], lo cual no es posible ya que [math] es primo.


[math] Caso 2: Si [math] y [math] no son PESI.

Sea [math] [math]. Es claro que [math] es primo ya que [math] es múltiplo de [math] (incluso puede ser [math]). Entonces la única opción es [math], con [math] primo. Por lo tanto [math] y [math]. Pero como [math] es un cuadrado perfecto, concluimos que [math], lo cual no es posible.

Hemos visto todas las posibilidades y concluimos que los únicos pares de enteros positivos que cumplen son [math] [math] [math]

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JPablo
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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 4

Mensaje sin leer por JPablo » Mar 18 Abr, 2017 10:50 pm

Una corta, directa y sin casos:
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Sea [math] y sea [math] tal que [math]. Como [math] entonces [math], que equivale a [math]. Como [math] entonces [math]. Por otra parte [math], entonces [math]. Además [math], por lo tanto [math]. Pero no puede ser [math] porque entonces [math]. Tampoco puede ser [math] porque entonces [math], restando ambas ecuaciones obtenemos [math], absurdo. Luego [math], de donde [math]. Restando ambas ecuaciones se tiene [math]. Despejando [math] y sustituyendo en [math] obtenemos [math]. Se sigue que

[math]

[math]

Así, la hipótesis [math] se traduce en

[math]

Esto implica [math], de donde [math]. Si [math] entonces [math] y si [math] entonces [math].

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