FOFO de Pascua 2017 - Problema 5

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Vladislao

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FOFO de Pascua 2017 - Problema 5

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 13 Abr, 2017 4:45 am

Sean [math] números reales tales que su suma es igual a [math]. Demostrar que es posible distribuirlos alrededor de una circunferencia de modo tal que la suma de los [math] productos de dos números vecinos sea menor o igual que [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 8:31 pm

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Vamos a demostrar que la mayor suma posible es [math].

Primero que nada vemos que no es posible que entre los [math] números haya algún [math] ya que en ese caso por lo menos dos de los sumandos estarían restando o serían [math]. El único caso en el que habiendo un número negativo en el conjunto original ningún sumando resta se da cuando todos los [math] son negativos, pero dado que su suma es igual a 1 eso no es posible.

Vamos a escribir todos los números como [math] con [math] real, por ejemplo, si tuivéramos el número [math] lo escrbiríamos como [math] que podemos ver son iguales. También veamos que para todo número [math] irracional, [math].
Es conocido que entre dos números [math] y [math], con [math], el menor [math] posible se tendrá cuando [math]. Por lo tanto, el mayor sumando que podemos obtener de dos números [math] y [math] se conseguirá cuando [math], ya que [math]. Sigue que [math]. Entonces estaremos sumando [math] [math] [math]. Y como esta es la mayor suma posible, queda demostrado que no se podrán ordenar los números de forma que la suma sea mayor a [math], que es lo que pide el problema.
[math]

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davisbeckam18

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 5

Mensaje sin leer por davisbeckam18 » Dom 16 Abr, 2017 9:44 pm

Solución
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Sean [math] números reales tales que su suma es igual 1. Procedamos por contradicción. Supongamos que sin importar cómo distribuyamos los [math] números alrededor de una circunferencia, la suma de los [math] productos de dos números vecinos siempre es mayor que [math].

Hay un total de [math] formas de permutar los números alrededor de una circunferencia (pueden haber configuraciones repetidas en caso de que algunos valores de [math] sean iguales). Como la suma de los [math] productos en cada configuración es mayor que [math], entonces al sumar las sumas de todas las permutaciones sería mayor que [math].

Pero como hay [math] configuraciones y [math] parejas, concluimos que cada pareja aparece un total de [math] veces en total. De las dos conclusiones anteriores tenemos:
[math]
[math] [math] [math]
[math]

Pero por [math] : [math], que en nuestro problema equivale a [math]. Juntando ambas expresiones llegamos a una contradicción la cual partió de afirmar que sin importar cómo distribuyamos los [math] números alrededor de una circunferencia, la suma de los [math] productos de dos números vecinos siempre es mayor que [math].

Queda demostrado que existe una forma de distribuir los números alrededor de una circunferencia de tal forma que la suma de los [math] productos de dos números vecinos sea menor o igual que [math].
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jujumas

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 5

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 16 Abr, 2017 9:50 pm

Gianni De Rico escribió:
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Vamos a demostrar que la mayor suma posible es [math].

Primero que nada vemos que no es posible que entre los [math] números haya algún [math] ya que en ese caso por lo menos dos de los sumandos estarían restando o serían [math]. El único caso en el que habiendo un número negativo en el conjunto original ningún sumando resta se da cuando todos los [math] son negativos, pero dado que su suma es igual a 1 eso no es posible.

Vamos a escribir todos los números como [math] con [math] real, por ejemplo, si tuivéramos el número [math] lo escrbiríamos como [math] que podemos ver son iguales. También veamos que para todo número [math] irracional, [math].
Es conocido que entre dos números [math] y [math], con [math], el menor [math] posible se tendrá cuando [math]. Por lo tanto, el mayor sumando que podemos obtener de dos números [math] y [math] se conseguirá cuando [math], ya que [math]. Sigue que [math]. Entonces estaremos sumando [math] [math] [math]. Y como esta es la mayor suma posible, queda demostrado que no se podrán ordenar los números de forma que la suma sea mayor a [math], que es lo que pide el problema.
En realidad es posible ordenar los números para alcanzar [math]. Basta con tomar de ejemplo los números [math], [math], [math], [math] y [math] y ubicar [math] y [math] uno al lado del otro para obtener una suma mayor a [math], ya que en particular su producto es mayor.

jujumas

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Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 5

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 16 Abr, 2017 9:52 pm

Solución:
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Nota previa: Si [math] la demostración es trivial. Para el caso [math], cuando tomamos [math] tomamos simplemente [math] (para evitar confusiones sobre el valor de [math]). En la demostración no se menciona la posibilidad de que los reales sean negativos hasta el final, pero esto no cambia la demostración en si.

Sea [math] una distribución de los números en la circunferencia, decimos que la suma de los [math] productos de dos números vecinos es el "valor" de la distribución.

Supongamos que nuestros números en la circunferencia son [math], [math], [math] [math] de modo que dos términos consecutivos se consideren en el producto, al igual que [math] y [math]. Notemos que tenemos [math] formas de poner las sucesiones [math] e [math] en correspondencia, por lo que existen [math] distribuciones.

Notemos que si demostramos que la suma de los valores de las [math] es menor o igual a [math] estamos, ya que esto implica por palomar que al menos una distribución tiene valor menor o igual a [math], por lo que vamos a tratar de demostrar esto.

Notemos que por simetría, la cantidad de apariciones del sumando [math] para [math] y [math] cualesquiera es la misma para toda elección de [math] y [math] distintos. Para trabajar con comodidad, vamos a suponer que [math] y [math] son parejas distintas. Luego, [math] puede estar en cualquiera de los [math], [math] esta determinado en función de donde esta [math], y los otros [math] reales pueden estar en cualquier lugar, por lo que [math] aparece un total de [math] veces. Luego, la suma de todos los productos que empiezan con [math] resulta ser [math] para [math] distinto de [math], y como la suma de los [math] números es [math], tenemos que esto es igual a [math].

Luego, la suma de todos los valores resulta ser [math], que es igual a [math], por lo que dividiendo por [math] queremos ver que [math].

Volviendo a usar que [math], tenemos que el problema se reduce a probar que [math], que es equivalente a probar que [math]. Para esto usaremos la desigualdad entre la media cuadrática y la media aritmética, la cual también se mantiene con reales negativos (ya que al cambiar [math] por [math] la media cuadrática se mantiene constante y la aritmética decrece), que nos dice que [math], que como [math], implica al elevar al cuadrado que [math], que multiplicado por [math] nos da lo que queríamos demostrar.
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