FOFO de Pascua 2017 - Problema 6

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 797
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 4
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

FOFO de Pascua 2017 - Problema 6

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 13 Abr, 2017 4:46 am

Sean [math] y [math] dos circunferencias que se cortan en los puntos [math] y [math]. Para cada punto [math] del plano, consideramos [math] y [math] las potencias del punto [math] respecto a [math] y [math] respectivamente.
Hallar el lugar geométrico de todos los puntos [math] tales que [math].
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 410
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 8:32 pm

Spoiler: mostrar
Afirmo que el lugar geométrico que se pide el enunciado es la recta que determinan [math] y [math] que además se llama eje radical.

Demostración([math]): Consideremos dos circunferencias no concéntricas de centros [math] e [math] y radios [math] y [math] respectivamente.
Supongamos que [math] es un punto con la misma potencia a las dos circunferencias. Sea [math] en [math] tal que [math]. Entonces [math]. Luego [math]. Por lo tanto [math]. Y [math] está en el eje radical.
De [math] tenemos que [math]. Luego [math]. Entonces [math]. Por lo tanto [math] que es una constante. Luego el punto [math] existe y es único. Si existiera otro punto [math] perteneciente a [math] y al eje radical, entonces [math]. Por lo tanto [math]. De donde [math]. Entonces [math]. Luego [math].
Por lo tanto, si un punto tiene igual potencia con respecto a las dos circunferencias, entonces el punto está en una recta perpendicular a la recta que une los dos centros.

Demostración([math]): Si un punto está en la perpendicular a [math] que pasa por [math], dicho punto pertenece al eje radical. Como [math], entonces [math]. Por lo tanto [math] está en el eje radical.

Ahora notemos que [math], lo que significa que ambos están en el eje radical de las dos circunferencias, y como dos puntos determinan una única recta mi afirmación inicial queda demostrada y el problema está resuelto.
[math]

jujumas

OFO - Mención OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Oro perfecto FOFO Pascua 2017 - Medalla
Mensajes: 313
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 6
Nivel: 2

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 6

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 16 Abr, 2017 9:32 pm

Gianni De Rico escribió:
Spoiler: mostrar
Afirmo que el lugar geométrico que se pide el enunciado es la recta que determinan [math] y [math] que además se llama eje radical.

Demostración([math]): Consideremos dos circunferencias no concéntricas de centros [math] e [math] y radios [math] y [math] respectivamente.
Supongamos que [math] es un punto con la misma potencia a las dos circunferencias. Sea [math] en [math] tal que [math]. Entonces [math]. Luego [math]. Por lo tanto [math]. Y [math] está en el eje radical.
De [math] tenemos que [math]. Luego [math]. Entonces [math]. Por lo tanto [math] que es una constante. Luego el punto [math] existe y es único. Si existiera otro punto [math] perteneciente a [math] y al eje radical, entonces [math]. Por lo tanto [math]. De donde [math]. Entonces [math]. Luego [math].
Por lo tanto, si un punto tiene igual potencia con respecto a las dos circunferencias, entonces el punto está en una recta perpendicular a la recta que une los dos centros.

Demostración([math]): Si un punto está en la perpendicular a [math] que pasa por [math], dicho punto pertenece al eje radical. Como [math], entonces [math]. Por lo tanto [math] está en el eje radical.

Ahora notemos que [math], lo que significa que ambos están en el eje radical de las dos circunferencias, y como dos puntos determinan una única recta mi afirmación inicial queda demostrada y el problema está resuelto.
No tuviste en cuenta que la potencia de un punto respecto a una circunferencia puede ser negativa, el lugar geométrico no es solo este. Ahí pongo mi solución.

jujumas

OFO - Mención OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Oro perfecto FOFO Pascua 2017 - Medalla
Mensajes: 313
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 6
Nivel: 2

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 6

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 16 Abr, 2017 9:34 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
En este problema usaremos la definición de potencia de un punto descrita acá:
https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_un_punto

Lema 1:[math] es perpendicular a [math] si y solo si [math]

Demostración (sacada de oma foros):

Para la primer parte supongamos que [math] es perpendicular a [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math]. Por Pitágoras tenemos:
[math] y [math] luego [math].
[math] y [math] luego [math].
De estas dos igualdades obtenemos [math], que es equivalente a [math].

Ahora vamos con la vuelta. Supongamos que [math].
Vamos a usar Teorema del Coseno (también se puede argumentar de otra forma usando tramposética y evitar usar trigonometría).

[math]
[math]
[math]
[math]

Teniamos que [math]. Usando las cuatro igualdades de arriba, vemos que esto equivale a
[math]

Si [math] nos queda:
[math]

Como el primer factor es positivo sigue que [math], luego [math]. Sigue que [math] es recto, como queriamos ver.


Lema 2 (teorema de la mediana - Apolonio): Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.

Demostración: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Apolonio

Por comodidad, vamos a llamar [math] y [math] a las circunferencias, y [math], [math] a sus respectivos centros. Vamos ahora a dividir el problema en dos partes;

Parte 1: Hallar el lugar geométrico de [math] tales que [math].

Figura de análisis 1: https://gyazo.com/df30f7d0b994fecf7381ab0af6c16feb

Vamos a demostrar que este lugar es la recta [math].

Para esto, notemos que la definición algebraica de potencia de un punto implica que un punto [math] cumple esto si y sólo si [math], que es equivalente a [math]. Luego, por el Lema 1 tenemos que [math] cumple la condición sí y solo sí [math] y [math] son perpendiculares, por lo que el lugar geométrico de estos puntos es la perpendicular a [math] por [math], que es la recta [math], ya que [math] es un romboide y sus diagonales son perpendiculares.


Parte 2: Hallar el lugar geométrico de [math] tales que [math]

Figura de análisis 2: https://gyazo.com/043cd793228d50c9a0840a0c73dde434

Sea [math] el punto medio de [math], vamos a demostrar que el lugar geométrico es la circunferencia de centro [math] y radio [math].

Sabemos por la definición algebraica de potencia de un punto que un punto [math] cumple si y solo si [math]. Sabemos sin embargo por el Lema [math] que el lado izquierdo de la ecuación es igual a [math], y que el lado derecho es igual a [math], de donde restando [math] a cada lado, tenemos que [math] cumple si y solo si [math], y como estamos tomando segmentos de longitud positiva, [math] cumple si y sólo si [math], por lo que el lugar geométrico de los puntos [math] que cumplen es la circunferencia de centro [math] y radio [math].


En conclusión el lugar geométrico de todos los puntos [math] son la recta [math] y la circunferencia cuyo centro esta en el punto medio del segmento que une los centros de las circunferencias y cuyo radio es [math].
1  

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 410
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: FOFO de Pascua 2017 - Problema 6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 16 Abr, 2017 10:13 pm

jujumas escribió:
Gianni De Rico escribió:
Spoiler: mostrar
Afirmo que el lugar geométrico que se pide el enunciado es la recta que determinan [math] y [math] que además se llama eje radical.

Demostración([math]): Consideremos dos circunferencias no concéntricas de centros [math] e [math] y radios [math] y [math] respectivamente.
Supongamos que [math] es un punto con la misma potencia a las dos circunferencias. Sea [math] en [math] tal que [math]. Entonces [math]. Luego [math]. Por lo tanto [math]. Y [math] está en el eje radical.
De [math] tenemos que [math]. Luego [math]. Entonces [math]. Por lo tanto [math] que es una constante. Luego el punto [math] existe y es único. Si existiera otro punto [math] perteneciente a [math] y al eje radical, entonces [math]. Por lo tanto [math]. De donde [math]. Entonces [math]. Luego [math].
Por lo tanto, si un punto tiene igual potencia con respecto a las dos circunferencias, entonces el punto está en una recta perpendicular a la recta que une los dos centros.

Demostración([math]): Si un punto está en la perpendicular a [math] que pasa por [math], dicho punto pertenece al eje radical. Como [math], entonces [math]. Por lo tanto [math] está en el eje radical.

Ahora notemos que [math], lo que significa que ambos están en el eje radical de las dos circunferencias, y como dos puntos determinan una única recta mi afirmación inicial queda demostrada y el problema está resuelto.
No tuviste en cuenta que la potencia de un punto respecto a una circunferencia puede ser negativa, el lugar geométrico no es solo este. Ahí pongo mi solución.
Tenés razón, no me di cuenta de eso.
[math]

Responder