Sea [math]n un número entero positivo. Un [math]n-minó en una figura que consta de [math]n cuadrados unitarios unidos por sus lados. Malena tiene un [math]100-minó que se puede dividir en dos [math]50-minós congruentes (iguales) y también se puede dividir en [math]25 tetraminós ([math]4-minós) congruentes. Demostrar que es posible dividirlo en [math]50 dominós.
Es trivial que los únicos [math]100-minós que pueden dividirse en [math]2 y en [math]25 al mismo tiempo son los rectángulos.
Entonces lo único que tenemos que probar es que en todos los rectángulos se puede. Como [math]D_{100}=\{1;2;4;5;10;20;25;50;100\}, los únicos rectángulos que se podrán formar son [math]1\times 100; [math]2\times 50; [math]4\times 25; [math]5\times 20 y [math]10\times 10 por lo que sólo tenemos que considerar [math]5 casos.
Caso [math]1: Hacemos [math]23 cortes horizontales para dividir al [math]1\times 100 en [math]50 fichas de [math]1\times 2.
Caso [math]2: Hacemos [math]23 cortes horizontales para dividir al [math]2\times 50 en [math]50 fichas de [math]2\times 1.
Caso [math]3: Hacemos [math]23 cortes horizontales y [math]1 corte vertical para dividir al [math]4\times 25 en fichas de [math]2\times 1.
Caso [math]4: Hacemos [math]8 cortes horizontales y [math]3 cortes verticales para dividir al [math]5\times 20 en fichas de [math]1\times 2.
Caso [math]5: Hacemos [math]8 cortes horizontales y [math]3 cortes verticales para dividir al [math]10\times 10 en fichas de [math]2\times 1.
Gianni De Rico escribió:Es trivial que los únicos [math]100-minós que pueden dividirse en [math]2 y en [math]25 al mismo tiempo son los rectángulos.
Esto no es cierto. Para contra-ejemplo, tomemos una escalera formada por [math]50 dominós horizontales, donde cada dominó esta un cuadrado arriba y uno a la derecha del anterior.
Pintemos el [math]100-minó con una coloración de tablero de ajedrez. Supongamos que en uno de los dos [math]50-minós en esta coloración tiene a [math]x cuadrados pintados de negro y [math]50-x de blanco. Al ubicar el segundo [math]50-minó, que es congruente a este, estamos rotando o reflejando la misma figura congruente, por lo que podemos pensar que estamos rotando la coloración de ajedrez con el [math]50-minó, lo que nos vuelve a dar la misma coloración. Sin embargo, puede suceder que la coloración quede corrida en una unidad. Luego, en el segundo [math]50-minó habrá o [math]x cuadrados pintados de negro y [math]50-x de blanco o [math]x de blanco y [math]50-x de negro. En ambos casos llegamos a que la cantidad de cuadrados pintados de negro en el [math]100-minó es par.
Un simple análisis de todos los [math]4-minós conexos nos dice que el único que no se puede cubrir con dominós es la T, sus reflejos y rotaciones. Nos basta ver entonces que el tablero no se puede cubrir con esta ficha [math]T. Para esto, notemos que en cada [math]T la cantidad de fichas coloreadas de negro es siempre impar ([math]1 o [math]3), por lo que al haber [math]25 de estas, llegamos que la cantidad de cuadrados pintados de negro en el [math]100-minó es impar. Absurdo, porque sabemos que es par.
El absurdo provino de suponer que no era posible cubrir el tablero con dominós. Luego, es posible lograr esto.
