Intercolegial 2017 N1 P1

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UNREAD_POSTpor Matías V5 » Jue 18 May, 2017 6:49 pm

Las letras $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ representan cinco dígitos distintos. Al multiplicar el número de seis cifras $1abcde$ por $3$ el resultado es el número de seis cifras $abcde1$, o sea,
$\begin{array}{cccccc}
1 & a & b & c & d & e \\
& & \times & & 3 &  \\
\hline
a & b & c & d & e & 1 \\
\end{array}$

Hallar los valores de los dígitos $a$, $b$, $c$, $d$, $e$.
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Re: Intercolegial 2017 N1 P1

UNREAD_POSTpor AlvaroFerrel » Jue 18 May, 2017 7:32 pm

Ese problema era fácil se podía hacer así (igual había muchas formas): 123407 X 3 = 370.221 habían muchas formas...
Sabían que si hay letras distintas los numero tienen que ser distintos por que hay unos amigos que habían puesto así: 100007 X 3 = 300021 Y ese estaba mal....

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Re: Intercolegial 2017 N1 P1

UNREAD_POSTpor Matías V5 » Jue 18 May, 2017 7:39 pm

AlvaroFerrel escribió:Ese problema era fácil se podía hacer así (igual había muchas formas): 123407 X 3 = 370.221 habían muchas formas...
Sabían que si hay letras distintas los numero tienen que ser distintos por que hay unos amigos que habían puesto así: 100007 X 3 = 300021 Y ese estaba mal....

Lo que pasa es que la $a$ siempre representa el mismo dígito (tanto en el primer número como en el segundo). Si no, le tendrían que haber puesto una letra diferente.
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Re: Intercolegial 2017 N1 P1

UNREAD_POSTpor gmfrancisco99 » Jue 18 May, 2017 8:07 pm

Spoiler: Mostrar
Yo lo resolví de la siguiente manera:
Teniendo el número 1abcde, yo escribí los números en nuestra base numérica. O sea:

100000+10000a+1000b+100c+10d+e

Luego dice que 1abcde*3=abcde1 . Es decir:

(100000+10000a+1000b+100c+10d+e)*3=100000a+10000b+1000c+100d+10e+1

Se aplica propiedad distributiva al primer término y queda:

300000+30000a+3000b+300c+30d+3e=100000a+10000b+1000c+100d+10e+1

Si separamos el valor numérico al primer término y las incógnitas al segundo, nos queda que:

299999=70000a+7000b+700c+70d+7e

Si aplicamos factor común 7 en el segundo término y dividimos al 299999 por ese 7 (299999 es múltiplo de 7) nos queda que:

299999=7(10000a+1000b+100c+10d+e)

42857=10000a+1000b+100c+10d+e

Ahora bien, esto nos queda como lo que hicimos al principio. Si nos damos cuenta, el número 42857 es el número abcde. Quiere decir que:

a=4
b=2
c=8
d=5
e=7

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Re: Intercolegial 2017 N1 P1

UNREAD_POSTpor Mari80 » Jue 18 May, 2017 8:22 pm

Yo para empezar busqué un número que al multiplicarlo por tres diera uno o terminará en el, el 7 cumplía (7×3=21), entonces e sería 7, luego busqué un número que al multiplicarlo por tres y sumarle los dos que me lleve de la anterior multiplicación diera 7 (e),
Si le resto el dos queda 5 y el multiplo de tres que termina en 5 es 15, por lo tanto d será 5 (5×3=15), me llevo uno y el número que multiplicado por tres más la unidad que me lleve termine en 5 es 8 (8×3=24+1=25),
c=8. Me llevo dos, se de los resto a 8, queda 6, dividido 3, dos b=2. No me llevo ninguno, entonces el número que termina en 2 es 12÷3=4 Y a es 4
1abcde=142857 abcde1=428571
142857×3= 428571, se cumple

No se si me explique bien :lol: pero bueno

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Re: Intercolegial 2017 N1 P1

UNREAD_POSTpor Fran5 » Vie 19 May, 2017 10:25 pm

Solución fea

Spoiler: Mostrar
Oservemos que

$7 \cdot 1abcde = 2 \cdot abcde1 + 1abcde = 2 \cdot (10 \cdot 1abcde - 1000000 + 1) +1abcde=$

$= 1abcde + 20 \cdot 1abcde - 2 \cdot 999999 = 21 \cdot 1abcde - 2 \cdot 999999$

Luego,

$21 \cdot 1abcde - 7 \cdot 1abcde = 2 \cdot 999999$

Es decir,

$1abcde = 142857$
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