Intercolegial 2017 N3 P1

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UNREAD_POSTpor Matías V5 » Jue 18 May, 2017 7:06 pm

Escribir en cada casilla uno de los números $35$; $40$; $44$; $46$; $55$ sin repetir, para que el promedio de los dos primeros sea un número entero, el promedio de los tres primeros sea un número entero y el promedio de los cuatro primeros sea un número entero.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}                                
\hline                                                               \;\; & \;\; & \;\; & \;\; & \;\;                                   \\ \hline
\end{array}$
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Re: Intercolegial 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Jue 18 May, 2017 7:45 pm

Se podía sacar probando, pero:
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Para que el promedio de los $3$ primeros números sea entero, su suma $S$ debe ser $S\equiv 0(3)$. Viendo las congruencias módulo $3$ tenemos:

$35\equiv 2(3)$
$40\equiv 1(3)$
$44\equiv 2(3)$
$46\equiv 1(3)$
$55\equiv 1(3)$

Si tomamos $3$ números $x$; $y$; $z$ con $x\equiv y\equiv 2(3)$; $z\equiv 1(3)$ tenemos:

$S\equiv 2+2+1(3)\equiv 2(3)$ que no cumple.

Si tomamos $3$ números $x$; $y$; $z$ con $x\equiv 2(3)$; $y\equiv z\equiv 1(3)$ tenemos:
$S\equiv 2+1+1(3)\equiv 1(3)$ que no cumple.

Por lo tanto tenemos que tomar $x\equiv y\equiv z\equiv 1(3)$; es decir, los números $40$; $46$; $55$ en algún orden. $(*)$

Para que el promedio de los $4$ primeros números sea entero, su suma $S$ debe ser $S\equiv 0(4)$. Viendo las congruencias módulo $4$ tenemos:

$35\equiv 3(4)$
$40\equiv 0(4)$
$44\equiv 0(4)$
$46\equiv 2(4)$
$55\equiv 3(4)$

Como ya tenemos los números $40$; $46$ y $55$:

$S\equiv 0+2+3+x(4)\equiv 1+x(4)\equiv 0(4)\Rightarrow x\equiv 3(4)$

De donde se obtiene que el cuarto número es $35$

Ahora, para que el promedio de los dos primeros sea entero, ambos deben tener la misma paridad, de $(*)$ tenemos que los únicos números posibles son $40$ y $46$ o $46$ y $40$. Por lo tanto, las tiras $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}                                
\hline                                                               40 & 46 & 55 & 35 & 44                                   \\ \hline
\end{array}$ y $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}                                
\hline                                                               46 & 40 & 55 & 35 & 44                                   \\ \hline
\end{array}$ no sólo cumplen sino que además son las únicas.
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$

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Gianni De Rico
 
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Re: Intercolegial 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor MateoCV » Jue 18 May, 2017 8:30 pm

Problema similar:
viewtopic.php?f=3&t=3361
$2^{74207281}-1$ es primo

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Re: Intercolegial 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Jue 18 May, 2017 8:49 pm

MateoCV escribió:Problema similar:
viewtopic.php?f=3&t=3361

Sabés que me parecía demasiado fácil para Nivel 3
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$
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Gianni De Rico
 
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