Intercolegial 2017 N3 P1

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Matías V5

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Intercolegial 2017 N3 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 18 May, 2017 7:06 pm

Escribir en cada casilla uno de los números [math]; [math]; [math]; [math]; [math] sin repetir, para que el promedio de los dos primeros sea un número entero, el promedio de los tres primeros sea un número entero y el promedio de los cuatro primeros sea un número entero.
[math]
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2017 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 18 May, 2017 7:45 pm

Se podía sacar probando, pero:
Spoiler: mostrar
Para que el promedio de los [math] primeros números sea entero, su suma [math] debe ser [math]. Viendo las congruencias módulo [math] tenemos:

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

Si tomamos [math] números [math]; [math]; [math] con [math]; [math] tenemos:

[math] que no cumple.

Si tomamos [math] números [math]; [math]; [math] con [math]; [math] tenemos:
[math] que no cumple.

Por lo tanto tenemos que tomar [math]; es decir, los números [math]; [math]; [math] en algún orden. [math]

Para que el promedio de los [math] primeros números sea entero, su suma [math] debe ser [math]. Viendo las congruencias módulo [math] tenemos:

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

Como ya tenemos los números [math]; [math] y [math]:

[math]

De donde se obtiene que el cuarto número es [math]

Ahora, para que el promedio de los dos primeros sea entero, ambos deben tener la misma paridad, de [math] tenemos que los únicos números posibles son [math] y [math] o [math] y [math]. Por lo tanto, las tiras [math] y [math] no sólo cumplen sino que además son las únicas.
2  
[math]

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MateoCV

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Re: Intercolegial 2017 N3 P1

Mensaje sin leer por MateoCV » Jue 18 May, 2017 8:30 pm

1  
[math] es primo

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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2017 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 18 May, 2017 8:49 pm

MateoCV escribió:Problema similar:
https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=3&t=3361
Sabés que me parecía demasiado fácil para Nivel 3
[math]

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