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Llamamos $x$ e $y$ a las bases mayor y menor del trapecio sombreado, respectivamente.
El área del trapecio es $\frac{(x+y)h}{2}$.

Por Thales $\frac{x}{5}=\frac{5}{10}\Rightarrow x=\frac{5}{2}$ y también $\frac{y}{2}=\frac{5}{10}\Rightarrow y=1$.
Y por dato $h=3$.

Luego, la medida del área sombreada es $A=\frac{3\left (\frac{5}{2}+1\right )}{2}=\frac{7}{2}\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=\frac{21}{4}=5,25$.

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Si le agregamos al trapecio el triangulito de la izquierda, tenemos que el area del trapecio es igual al area del triangulo mediano menos el area del triangulo chico, los cuales son semejantes y tienen sus catetos en la proporción [math](2+3+5):(5) = 2:1

Luego, como sus bases son [math]2 y [math]5 respectivamente, tenemos que el area del trapecio es

[math]\frac{5 \cdot \frac{5}{2}}{2} - \frac{2 \cdot \frac{2}{2}}{2} = \frac{25 - 4}{4} = \frac{21}{4}

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[math]\int_{x=2}^{x=5}\frac{1}{2}x \cdot dx = \frac{21}{4}

AgusBarreto escribió:Para seres sin sentido del gusto como el compañero @FaC7oR

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[math]\int_{x=2}^{x=5}\frac{1}{2}x \cdot dx = \frac{21}{4}

AgusBarreto escribió:Para seres sin sentido del gusto como el compañero @FaC7oR

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[math]\int_{x=2}^{x=5}\frac{1}{2}x \cdot dx = \frac{21}{4}

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Luego de deducir con Tales los lados paralelos del trapecio en cuestion (y NO querer usar la formula correspondiente) tenemos,
El area verde es la cuarta parte del area del cuadrado de lado 2 es decir 4/4=1
El area roja es la cuarta parte del area del cuadrado de lado 5 es decir 25/4
El area roja=verde+gris.
Entonces el area gris es (25/4)-1=21/4.

mVbnPs0.png

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Veamos que podemos plantear Thales de la siguiente manera:
Sea x el corte de la hipotenusa con el primer cuadrado.
Sea y el corte de la hipotenusa con el segundo cuadrado.

$\frac{5}{10} = \frac{y}{5} = \frac{x}{2}$

Despejando se llega a que $x = 1, y = \frac{5}{2}$

Por la formula del área del trapecio tenemos que:

$A = \frac{(1 + \frac{5}{2}).3}{2}$
$A = \frac{21}{4}$

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Por favor, conformate con la solucion de arriba

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Enserio, con Thales sale mas facil

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Este tema no entra en las olimpiadas, no es necesario que lo sepas.

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Por favor administradores de OMA, no me reten

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Llamemos al vértice de abajo a la izquierda del primer cuadrado el punto (0;0).
El vértice de arriba a la derecha del ultimo cuadrado va a tener que ser el punto (10;5)

Calculemos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos (En otras palabras, la hipotenusa del triangulo grande)

$m = \frac{5 - 0}{10 - 0}$
$m = \frac{1}{2}$

Reemplazando en la ecuación de la recta tenemos:

$y = mx + b$
$y = \frac{1}{2}x $ // b es 0 ya que pasa por el (0;0)

Ahora calculamos la integral definida entre el punto 2 y 5.

$\displaystyle\int_{2}^{5} \frac{1}{2}x dx$
$\frac{1}{2} \displaystyle\int_{2}^{5} x dx$
$\frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_{2}^{5}$
$\frac{1}{2}(\frac{5^2}{2} - \frac{2^2}{2}) = \frac{21}{4}$
$\displaystyle\int_{2}^{5} \frac{1}{2}x dx = \frac{21}{4}$

Entonces el área abajo de la recta (el trapecio) es $\frac{21}{4}$