Zonal 2017 N1 P2

[Matías V5]

Diremos que un número entero positivo es interesante si la suma de sus dígitos es un número primo. Por ejemplo, $1312$ es interesante porque $1+3+1+2=7$ y también lo es $274$ porque $2+7+4=13$.
Dar cinco números enteros positivos consecutivos tales que de esos cinco números la mayor cantidad posible sean interesantes.

Aclaración: El $1$ no es primo.

[Marco V]

Spoiler: mostrar

Primero veamos el caso en que a lo sumo el último de nuestros números termine en [math]9:
Entonces la suma de los dígitos del primer número, al sumarle [math]1, es igual a la suma de los dígitos del segundo número y así sucesivamente.
Esto nos dice que las sumas también son números consecutivos: ¿Cuántos nros primos hay en [math]5 nros consecutivos?
Si vemos esos nros, a lo sumo [math]3 son impares y uno de estos es múltiplo de [math]3, por lo que tenemos [math]2 primos exceptuando:
[math]2, [math]3, [math]4, [math]5, [math]6
[math]3, [math]4, [math]5, [math]6, [math]7
Pero si agregamos algún número que termine en [math]9 podemos añadir [math]1 número interesante como máximo (ya que con [math]5 unidades nos cambia como mucho una decena).
No sólo eso, sino que también este debe ser el primer número de la lista y debe estar seguido por un número interesante que sume a [math]2, caso contrario no llegamos a [math]4.
También esto determina el tipo de construcción de cada ejemplo, algo no muy difícil de notar.
El menor ejemplo posible es [math]199, [math]200, [math]201; [math]202, [math]203

[Matías V5]

Hola @Marco V!
Está bien tu ejemplo con [math]4 números, y la justificación de que no se puede con más esencialmente también. Pero ojo que ni es cierto que ese sea el mínimo ejemplo posible, ni que sí o sí tenga que terminar en [math]9 el primer número. Por ejemplo, también funciona [math]197, 198, 199, 200, 201. (Igual para este problema con dar un ejemplo alcanza, aunque no sea el menor.)

[Marco V]

Hola @Marco V!
Está bien tu ejemplo con [math]4 números, y la justificación de que no se puede con más esencialmente también. Pero ojo que ni es cierto que ese sea el mínimo ejemplo posible, ni que sí o sí tenga que terminar en [math]9 el primer número. Por ejemplo, también funciona [math]197, 198, 199, 200, 201. (Igual para este problema con dar un ejemplo alcanza, aunque no sea el menor.)

Muchas gracias! Justamente como lo pasé por arriba me estaba preguntando si hay más posibilidades. Igual no rendí nivel 1 y no hubiera puesto eso por miedo a un contraejemplo
De todas maneras me pareció un problema muy interesante, mi favorito de los 9

[TomiLopez8]

Matias, yo puse que el maximo de numeros interesantes consecutivos, eran 3, probe con mas de mil numero, y puse de ejemplo:
12: 3
13: 4x
14: 5
15: 6x
16: 7

[Nicolás Amado]

Hola, yo hice con 3 ejemplos:
1- 1099*,1100*,1101*,1102,1103*
2- 109999*,110000*,110001*,110002,110003*
3-10099*,10100*,10101*,10102,10103*

Estarían bien?

[Marco V]

Hola, yo hice con 3 ejemplos:
1- 1099*,1100*,1101*,1102,1103*
2- 109999*,110000*,110001*,110002,110003*
3-10099*,10100*,10101*,10102,10103*

Estarían bien?

Sí, hasta podés generar infinitos ejemplos con facilidad, sólo que hay que mostrar que no se puede con [math]5

[MiguelKalinowski]

Hola, yo hice con 3 ejemplos:
1- 1099*,1100*,1101*,1102,1103*
2- 109999*,110000*,110001*,110002,110003*
3-10099*,10100*,10101*,10102,10103*

Estarían bien?

Yo creo que sí, yo puse números diferentes pero igual encontre otros mas como por ej 197,198,199,200,201.
La suma de los digitos de c/u de los numeros da como resultado un primo y había que encontrar la mayor cantidad de números interesantes seguidos que era 4,con eso alcanza, ademas las soluciones son infinitas porque si vas agregando ceros igual se mantiene la propiedad. Por ej también funciona con :
100000000099 100000000100 100000000101 100000000102 100000000103

[Damian]

Lo entendí de otra manera, en vez de pensar en positivos fije a un número positivo como par, estoy triste, de tener que esperar 1 año más para hacer el examen de nuevo, esto de desiluciona

[Matías V5]

Matias, yo puse que el maximo de numeros interesantes consecutivos, eran 3, probe con mas de mil numero, y puse de ejemplo:
12: 3
13: 4x
14: 5
15: 6x
16: 7

@TomiLopez8, ya habrás visto que pusimos algunos ejemplos de cinco números consecutivos de los cuales 4 son interesantes, así que el máximo no puede ser 3. A veces pasa que uno prueba y prueba y no encuentra nada mejor; por eso es bueno preguntarse si se puede justificar que eso que uno encontró realmente era el máximo posible, para evitar que pasen estas cosas.
De todos modos, al menos en mi caso no es que encontré ejemplo con 4 de casualidad o porque tuve suerte, más o menos fui pensando cómo lo tenía que armar. Ahora ya es tarde pero mañana por ahí posteo los detalles de lo que pensé.