Zonal 2017 N1 P3

[Matías V5]

Sea $ABCDE$ un pentágono tal que $AB=BC=CA=AD=DE=EA$ y $C\widehat{A}D=40^\circ$. Calcular la medida del ángulo $A\widehat{B}E$.

Aclaración: Los lados del pentágono $ABCDE$ son $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$.

[TomiLopez8]

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A mi me dio ABE=10°

[Marco V]

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A mi me dio ABE=10°

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[Marco V]

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Cómo $ABC$ y $ADE$ son equiláteros, $B\widehat{A}E=B\widehat{A}C+40^\circ+D\widehat{A}E=160^\circ$
$A\widehat{B}E=B\widehat{E}A$ por triángulos isósceles
Entonces $2\cdot A\widehat{B}E=180^\circ -160^\circ$
Y $A\widehat{B}E=10^\circ$

[Gianni De Rico]

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Zonal 2017 N1 P3.png

Vemos que los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle ADE$ son equiláteros, pues todos sus lados son iguales. Entonces todos sus ángulos miden $60^\circ$ (en la figura, en verde). Como el problema nos dice que $C\widehat AD=40^\circ$ (en la figura, en rojo), entonces $B\widehat AE=60^\circ +40^\circ +60^\circ =160^\circ$, pero como por el enunciado sabemos que $AB=AE$, resulta que el triángulo $\triangle BAE$ es isósceles en $A$ y por lo tanto $A\widehat BE=A\widehat EB$. Como en todos los triángulos la suma de sus ángulos interiores es $180^\circ$, entonces $A\widehat BE+A\widehat EB+B\widehat AE=2\cdot A\widehat BE+160^\circ =180^\circ$, de modo que $2\cdot A\widehat BE=180^\circ -160^\circ =20^\circ$, es decir que $A\widehat BE=\frac{20^\circ}{2}=10^\circ$.

El resultado es $A\widehat BE=10^\circ$.

[ROSEL]