Calcular la suma de todos los números enteros positivos de cuatro dígitos con sus cuatro dígitos impares.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore! Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
La cantidad de veces que aparece un número en una posición [math]=5*5*5=125
Entonces la suma que aporta un número [math]x es: [math]125*x+125*10x+125*100x+125*1000x=125*1111x
Con este procedimiento la suma es: [math]125*(1111+3333+5555+7777+9999)=3471875
Diremos que un entero positivo de cuatro cifras es bueno si todos sus dígitos son impares, y de paso definamos [math]f(m)=11110-m para todo número bueno. Sabemos que hay [math]5\times 5\times 5\times 5=625 números buenos. Notemos que sólo hay un número bueno [math]m tal que [math]f(m)=m, que es el número [math]5555. Además, la función [math]f es inyectiva. Por lo tanto, la suma de todos los números buenos es: [math]\frac{625-1}{2}\times 11110+5555=3471875.
Sea $abcd$ un número con todos sus dígitos impares, para cada una de las tres posiciones que no vamos a sumar tenemos $5^3=125$ posibilidades, como la suma de los primeros $n$ impares en $n^2$, la suma de los dígitos es $5^2=25$. Por lo tanto la suma de todos los los valores de cada dígito es $125\times 25=3125$ (contamos todas las veces que aparecerá). Y la de todos los números es:
$3125\cdot 1000+3125\cdot 100+3125\cdot 10+3125=3471875$.
Última edición por Gianni De Rico el Sab 01 Jul, 2017 9:27 pm, editado 1 vez en total.
Para cada dígito tenemos [math]5 posibilidades, por lo que en total tenemos [math]5^4=625 números. Para calcular el valor sumamos el [math]1111 y [math]9999, el [math]1113 y [math]9997, el número en la posición [math]n con el número en la posición [math]626-n. La suma es constante e igual a [math]11110, cuando hacemos las [math]313 sumas nos queda [math]S=11110\times 313=3477430, pero estamos contando dos veces el [math]5555, entonces queda [math]3477430-5555=3471875.
Lo que hice fue:
¿De cuantas maneras puedo unir el 1 con la columna de la izquierda ( 10, 30, 50, 70, 90) ?
Bueno de 5 maneras.
¿De cuantas maneras puedo unir el 10 con la columna de la izquierda ( 100, 300, 500, 700, 900) ?
5 maneras.
¿De cuantas maneras puedo unir el 100 con la columna de la izquierda?
5 maneras.
5.5.5 = 125
Es mas facil entenderlo con algo mas simple, por ejemplo sumar todos los numeros de dos digitos
Tenemos todos los posibles digitos (los impares): (1+3+5+7+9)
Luego, las posibles posiciones ()
Por ejemplo, calcular la suma de todos los números de 2 dígitos impares.
Primero, los posibles dígitos serán los impares, entonces: $(1+3+5+7+9)$
Después, las posibles posiciones de estos námeros son la decena y la unidad: $(10+1)$
10 | 1
20 | 2
30 | 3
40 | 4
50 | 5
Siguiendo tu razonamiento, las maneras para unir un 1 con uno de la izquierda son 5.
S hacemos $(1+3+5+7+9)(10+1)$ conseguimos $10+20+30+40+50+(1+3+5+7+9)$
Si multiplicamos por 5, vamos a obtener 5 dieces, que se van a acoplar perfectamente con uno de los sets de $(1+3+5+7+9)$, formando 11,13,15,17,19.
Así va a pasar con todas las decenas, y justamente van a haber 5 sets para cada una de las 5 decenas porque todo lo multiplicamos por 5.
Una version más complicada de esto mismo es cuando hay 4 dígitos. $(1000+100+10+1)(1+3+5+7+9)(5^3) = 1+3+5+7+9+10+30+50+70+90+100+300+500+700+900+1000+3000+5000+7000+9000$
Un 5 se encargará de que haya todos los numeros de dos dígitos impares, como está demostrado antes.
¿Y cuántos números son estos? 25, porque hay 5 posibles dígitos en la unidad y luego 5 posibles en la decena. A su vez, el segundo 5 hará que haya 25 de cada centena (por este 5 y el anterior). Entonces, por ejemplo en la centena 100: Hay 25 cienes, cada uno se acopla perfectamente con los 25 números de 2 dígitos impares, formando 111,113,115,117, etc. El set de 25 números de 2 dígitos impares se multiplica por 5, para poder unirse con los 5 tipos de centenas (100,300,500,700 y 900) y asi formar todos los números de 3 dígitos impares.
Por último, hay 125 números de 3 dígitos impares y este seria el nuevo set, que se multiplica por 5 nuevamente. Las 5 milenas en total se han multiplicado por 125, un 1000 para cada uno de los 125 numeros de 3 dígitos impares y así también con 3000, 5000, 7000 y 9000. Hay 5 milenas, por lo que cumple ya que como dijimos antes, el set se multiplica por 5, un set para cada milena. 125 números para 125 números
