Urbana 2009 N1 P1

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UNREAD_POSTpor Luli97 » Lun 10 Jul, 2017 1:27 pm

Un cuadrado $ABCD$ de lado $12$ está dividido en $144$ cuadraditos de $1\times1$. Se traza una circunferencia con centro en el centro del cuadrado y radio $6$. Determinar cuántos cuadraditos de la división quedan totalmente contenido en el interior de la circunferencia.
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Re: Urbana 2009 N1 P1

UNREAD_POSTpor MiguelKalinowski » Lun 10 Jul, 2017 3:53 pm

Yo lo que hice fue comprobar todos los cuadrados que dudaba que estuvieran adentro con
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[/sPitágoras ¿Cómo comprobé? primero partiendo desde el vértice que estaba más lejos del centro del cuadrado que quería analizar hacia la izquierda si el cuadrado estaba a la derecha del radio y viceversa, hasta quedar justo encima del centro del cuadrado contando cuántos cuadrados recorrí , despues bajaba o subía para quedar justo en el centro y también contaba, supongamos que en el primer camino recorrí 3 cuadraditos y en el segundo 5 cuadraditos, se me queda formado un triángulo rectángulo de catetos 5 y 3 y la hipotenusa es la distancia entre el centro y el vértice del cuadrado que está más lejos, en este caso √25 + 9 = √34= 5.8.... y como 5.8 es menos que el radio entonces estaba adentro del circulo. Después de comprobar me dio 88 cuadraditos

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Re: Urbana 2009 N1 P1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Lun 10 Jul, 2017 9:06 pm

Vengo a dejarte una forma de optimizar tu idea
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Consideramos solamente una cuarta parte de la circunferencia, ya que como las otros $3$ son iguales, solamente debemos multiplicar por $4$ la cantidad de cuadraditos que hay en ese sector y obtendremos el resultado.

Como la circunferencia tiene radio $6$, nos queda por analizar un cuadrado de $6\times 6$. Con la calculadora vemos que $4\sqrt 2<6<5\sqrt 2$ ($\sqrt 2$ es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado $1$), entonces, sólo hay $4$ cuadraditos de la diagonal contenidos dentro de la circunferencia. La gracia de esto, es que como el cuadrado es simétrico respecto de la diagonal, solamente tenemos que calcular la mitad de los cuadraditos que entran en la circunferencia.

Ahora sí, usando Pitágoras vemos que $5^2+1^2<36<6^2+1^2$, por lo que en la primera fila del cuadrado sólo entran $5$ cuadraditos.
En la segunda fila, vemos que $5^2+2^2<36<6^2+2^2$, por lo que en la segunda fila sólo entran $5$ cuadraditos.
En la tercera fila, vemos que $5^2+3^2<36<6^2+3^2$ por lo que en la tercera fila sólo entran $5$ cuadraditos.
Le restamos $1$ cuadradito en la primera fila,
$2$ en la segunda y $3$ en la tercera (son los que están antes de la diagonal y que vamos a contar después) y nos quedan $9$ cuadraditos. Lo multiplicamos por $2$ (porque es simétrico) y le sumamos $4$ (los de la diagonal) y nos quedan $22$ cuadraditos, multiplicamos eso por $4$ (cada uno de los otros sectores de la circunferencia tienen lo mismo) y nos da $88$.

La explicación parece larga, pero es porque estoy detallando todo para que te quede claro, fijate que se resuelve con $5$ cuentas nada más.
$e^{i\pi}+1=0$
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Gianni De Rico
 
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Re: Urbana 2009 N1 P1

UNREAD_POSTpor MiguelKalinowski » Mar 11 Jul, 2017 3:09 pm

Gianni De Rico escribió:Vengo a dejarte una forma de optimizar tu idea
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Consideramos solamente una cuarta parte de la circunferencia, ya que como las otros $3$ son iguales, solamente debemos multiplicar por $4$ la cantidad de cuadraditos que hay en ese sector y obtendremos el resultado.

Como la circunferencia tiene radio $6$, nos queda por analizar un cuadrado de $6\times 6$. Con la calculadora vemos que $4\sqrt 2<6<5\sqrt 2$ ($\sqrt 2$ es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado $1$), entonces, sólo hay $4$ cuadraditos de la diagonal contenidos dentro de la circunferencia. La gracia de esto, es que como el cuadrado es simétrico respecto de la diagonal, solamente tenemos que calcular la mitad de los cuadraditos que entran en la circunferencia.

Ahora sí, usando Pitágoras vemos que $5^2+1^2<36<6^2+1^2$, por lo que en la primera fila del cuadrado sólo entran $5$ cuadraditos.
En la segunda fila, vemos que $5^2+2^2<36<6^2+2^2$, por lo que en la segunda fila sólo entran $5$ cuadraditos.
En la tercera fila, vemos que $5^2+3^2<36<6^2+3^2$ por lo que en la tercera fila sólo entran $5$ cuadraditos.
Le restamos $1$ cuadradito en la primera fila,
$2$ en la segunda y $3$ en la tercera (son los que están antes de la diagonal y que vamos a contar después) y nos quedan $9$ cuadraditos. Lo multiplicamos por $2$ (porque es simétrico) y le sumamos $4$ (los de la diagonal) y nos quedan $22$ cuadraditos, multiplicamos eso por $4$ (cada uno de los otros sectores de la circunferencia tienen lo mismo) y nos da $88$.

La explicación parece larga, pero es porque estoy detallando todo para que te quede claro, fijate que se resuelve con $5$ cuentas nada más.

Gracias entendí perfecto :D !! Yo siempre me demoro mucho, el año pasado casi no paso el regional porque me demoré mucho y eso que sabía como se hacían los 3 problemas :? ...

MiguelKalinowski
 
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Re: Urbana 2009 N1 P1

UNREAD_POSTpor Fran5 » Mar 11 Jul, 2017 5:25 pm

Una fácil

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Agarras la hoja cuadriculada que llevaste al provincial, y dibujas un cuadrado GRANDE de $6 \times 6$, para trazar adentro un cuarto de circunferencia. Contás cuantos cuadrados hay dentro de ese cuarto de circunferencia y multiplicas por $4$.


Una complicada

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De nuevo consideramos un cuarto de circunferencia por simetría.

Para cada $i = 1,2, ..., 6$ hallamos $k_i$ tal que $\sqrt{k_i^2+i^2} < 6 < \sqrt{(k_i+1)^2+i^2}$
Es decir, cada $k_i$ cuenta cuantos cuadraditos de la mitad de la $i$-ésima fila, contando desde abajo hacia arriba comenzando desde el centro de la circunferencia, caben completamente en nuestro cuarto de circunferencia.

Y luego computamos $4 \sum_{i=1}^{6} k_i$

PD: en esencia, esta es la solución de Gianni de Rico
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