Cono Sur 2017 P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Cono Sur 2017 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

La sucesión infinita $a_1,a_2,a_3,\ldots$ de enteros positivos se define de la siguiente manera: $a_1=1$, y para cada $n\geq 2$, $a_n$ es el menor entero positivo distinto de $a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1}$ tal que:

$\sqrt{a_n+\sqrt{a_{n-1}+\ldots +\sqrt{a_2+\sqrt{a_1}}}}$ es un entero.

Demostrar que todos los enteros positivos aparecen en la sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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Emerson Soriano

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Re: Cono Sur 2017 P6

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

Spoiler: mostrar
Para cada entero positivo [math], definimos:
[math]
Primero enunciarems y demostraremos el siguiente lema:

Lema. Para todo entero positivo [math], existe un entero positivo [math] tal que
  • [math] En la subsucesión [math] aparecen todos los enteros positivos del [math] al [math].
  • [math] [math].
  • [math] [math] para todo [math].
Prueba. La prueba lo haremos por inducción sobre [math]. Es fácil comprobar que [math], [math], [math], [math] y [math]. Hasta ahora, el lema sí satisface para [math], [math], [math] y [math]. Supongamos que existe un entero [math] que satisface el lema, entonces, existe un entero positivo [math] con las propiedades mencionadas. Sabemos que el conjunto de todas las distancias que hay entre los números [math], [math], ... , [math] y los cuadrados perfectos [math], es finito, por lo tanto, existe un entero positivo [math] tal que [math], y considere que [math] es mínimo, así, [math] para todo [math]. Notemos que la mayor distancia que hay entre los números [math], [math], ... , [math] y los cuadrados perfectos [math] es como máximo [math]. Como [math] para todo [math], entonces [math] para todo [math], [math], ... , [math]. En síntesis, cada distancia entre los números [math], [math], ... , [math] y el número [math] es mayor o igual que [math], luego, como [math], entonces podemos afirmar que [math]. Observemos que entre los números [math], [math], ... , [math] aparecen todos los enteros positivos del [math] al [math], [math] y [math] para todo [math], entonces el lema también satisface para [math], quedando completa la inducción. [math]

Gracias al lema podemos afirmar que todos los enteros positivos aparecen por lo menos una vez en la sucesión [math].

Con respecto al problema, supongamos que existe un entero positivo [math] que no aparece en la sucesión [math]. Sea [math] el menor entero positivo tal que [math]. Por el lema sabemos que existen enteros positivos [math], [math], ... tales que [math]. Como no existe ningún [math] tal que [math], entonces entre [math] y [math] debe haber al menos un cuadrado perfecto, es decir, debe existir un entero positivo [math] tal que [math] para todo entero positivo [math], luego, debe cumplirse que [math], por lo tanto, [math] para todo entero positivo [math], pero esto es absurdo, pues [math] no es mayor que infinitos enteros positivos.

Finalmente, concluimos que todos los enteros positivos aparecen en la sucesión [math].
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