En cada casilla de un tablero de $5\times 5$ hay escrito un número real de modo que se cumplen las siguientes reglas:
Puede haber números repetidos.
En ninguna fila y en ninguna columna los cinco números son iguales.
En cada fila, el número central (el tercero) es igual al promedio de los cinco números de su fila y en cada columna el número central (el tercero) es igual al promedio de los cinco números de su columna.
Determinar la menor cantidad de números que son menores que el número escrito en la casilla central del tablero y dar un ejemplo de un tablero que cumple las condiciones.
Digamos que el numero de la casilla central es $M$, "En la fila 3 del tablero debe haber si o si una casilla con un numero menor a M" ya que al no poder ser todos iguales en esa fila deberá haber un numero que sea distinto de $M$: en caso de que sea menor que $M$ ya estaría probado, en caso de ser mayor que $M$ (obviamente no seria el central) y si los $3$ restantes que no son ni el ni el central fuesen mayores o iguales que $M$ el promedio de los $5$ números de esa fila seria claramente mayor que $M$ y seria absurdo, luego alguno de esos $3$ números es menor que $M$. "Lo mismo pasara en la tercera columna, tendrá ella algún numero menor que $M$".
Llamemos $F$ al numero de la fila $3$ que es seguro menor que $M$ y $C$ al numero de la columna $3$ que es seguro menor que $M$.
En la columna en la que esta el numero $F$, él sera el central de dicha columna y con idéntico razonamiento al que se hizo hasta ahora existirá en esa columna algún numero $X$ que sera menor que $F$ y por lo tanto también menor que $M$
En la fila en la que esta el numero $C$, él sera el central de dicha fila y con idéntico razonamiento al que se hizo hasta ahora existirá en esa fila algún numero $Y$ que sera menor que $C$ y por lo tanto también menor que $M$, los números $F$, $C$, $X$ e $y$ son menores que $M$ pero entre esos 4 números hay 2 que podrían coincidir que son el "X" y el "Y" minimizando la cantidad de 4 a 3. Esto significa que al menos 3 deben ser menor al central $M$
Mostramos un ejemplo donde 3 casillas son menores a la central que se elijo como $0$, quedando probado que el mínimo de casilla menores que la central es 3$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
\hline
0 & -20 & -5 & 0 & 0 \\
\hline
1 & -5 & 0 & 2 & 2 \\
\hline
4 & 0 & 2 & 2 & 2 \\
\hline
0 & 0 & 2 & 4 & 4 \\
\hline
\end{array}$$
