Regional 2017 N3 P1

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UNREAD_POSTpor Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 6:18 pm

Un número entero positivo de $10$ dígitos se llama diverso si sus $10$ dígitos son distintos. Hallar la cantidad de números diversos que son divisibles por $99$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré
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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor Juampi.espejo1 » Mié 06 Sep, 2017 6:48 pm

Spoiler: Mostrar
a mí me dió 285120

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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor sebach » Mié 06 Sep, 2017 9:19 pm

Juampi.espejo1 escribió:
Spoiler: Mostrar
a mí me dió 285120


Está bien ese número, si podés y querés contá cómo lo pensaste

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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor sgomezpaz » Jue 07 Sep, 2017 2:40 pm

$99=9*11$
Como todos los números diversos son múltiplos de 9 (la suma de sus dígitos siempre será 45), solo queda encontrar los diversos que son múltiplos de 11.
Sabemos que para que un numero sea divisible por 11 la suma de sus dígitos pares debe ser congruente con la suma de sus dígitos impares mod 11.
Llamaremos m a la suma de los dígitos impares y p a la suma de los dígitos pares.
Sabemos por un lado que $m+p=45$ y por otro que $m=p+11k$, con k entero.
Como m y p son naturales y de paridad opuesta, las únicas soluciones que encontramos son $m=p+11$ y $p=m+11$, con lo cual $m=17$ y $p=28$ o $m=28$ y $p=17$.
En cualquiera de los casos tenemos que encontrar los conjuntos que cumplan con las condiciones: A sume 17 y su contraparte B sume 28, con todos los dígitos distintos entre sí.
Tenemos, indistintos de la posición de los dígitos, 11 posibles conjuntos A y B:

$A_1=\{0,1,2,5,9\}$ $B_1=\{3,4,6,7,8\}$
$A_2=\{0,1,2,6,8\}$ $B_2=\{3,4,5,7,9\}$
$A_3=\{0,1,3,4,9\}$ $B_3=\{2,5,6,7,8\}$
$A_4=\{0,1,3,5,8\}$ $B_4=\{2,4,6,7,9\}$
$A_5=\{0,1,3,6,7\}$ $B_5=\{2,4,5,8,9\}$
$A_6=\{0,1,4,5,7\}$ $B_6=\{2,3,6,8,9\}$
$A_7=\{0,2,3,4,8\}$ $B_7=\{1,5,6,7,9\}$
$A_8=\{0,2,3,5,7\}$ $B_8=\{1,4,6,8,9\}$
$A_9=\{0,2,4,5,6\}$ $B_9=\{1,3,7,8,9\}$
$A_{10}=\{1,2,3,4,7\}$ $B_{10}=\{0,5,6,8,9\}$
$A_{11}=\{1,2,3,5,6\}$ $B_{11}=\{0,4,7,8,9\}$

Ahora tenemos que calcular la cantidad de números distintos que se pueden formar con estos conjuntos, ya sea con los conjuntos A en lugares impares y B en pares o viceversa.
Sabemos que $5! * 11$ nos da las distintas posiciones que pueden tomar los dígitos de los conjuntos en diferentes lugares.
Multiplicando estas por las distintas maneras de ordenar las contrapartes B de los conjuntos A ($5!$), tenemos
$2*5!^2*11$ posibilidades (recordar que podemos ubicar a los conjuntos A en lugares impares y B en pares y viceversa).

Solo queda restar los diversos que arrancan con 0 (y por lo tanto no pueden ser expresados como números de 10 cifras).
Como todos los pares de conjuntos A y B tienen alguno un cero y ambos son usados en lugares impares la mitad de las veces, tenemos $11*4!*5!$ números que empiezan con 0.

Finalmente:
Cant. diversos divisibles por 99 $= 11*5!(2*5!-4!) = 285120$

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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor sebach » Vie 08 Sep, 2017 12:15 am

Comentario un poquito relacionado (que podría haber metido en muchos lugares, pero este problema me gustó como excusa):

Existe una herramienta hermosa y súper importante, no para una instancia Regional pero sí para muchas cosas más que nada de "la vida" que es la programación. Para los que no están interiorizados, es básicamente darle a la computadora una serie de pasos a seguir en un idioma que entienda la computadora para que agarre y haga las cuentas que queremos pero mucho más rápido.

Por ejemplo, para este problema, podíamos decirle a la computadora "che, fijate los números de $10$ cifras (desde el $1.000.000.000$ hasta el $9.999.999.999$), cuántos son divisibles por $11$ y tienen todas las cifras distintas y decime la respuesta".
Obviamente en una instancia de la Olimpíada de Matemática no se puede porque no tendría mucho sentido poner "son 'tantos' " y listo, había que explicar cómo pensarlo y cómo contarlos justamente sin ver uno a uno. Pero qué se yo, con esta herramienta por ejemplo podrían volver a sus casas y que la compu les compruebe en quizás unos minutos (son muchos números a chequear) si su respuesta estuvo bien o no.

Hay muchas competencias de programación, Olimpíadas presenciales y también problemas para resolver online, con problemas muy relacionados a la matemática, como por ejemplo este podría ser uno. Quizás salen solo haciendo cosas de matemática, o quizás pensando hay que descartar algunas cosas para que la compu no haga cuentas de más (por ejemplo, acá se podía ver que siempre que tuviera todas las cifras distintas, ya era múltiplo de 9, y se ahorraban de que la compu chequeara esa condición).

Hay mucho para leer en internet (como todo), y si a alguien le interesó/interesa pueden comunicarse conmigo (por ejemplo) y les puedo dar una mano.

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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor 18dieciocho » Sab 09 Sep, 2017 12:07 am

Mi solución en la prueba=Podemos ver que el problema es equivalente a encontrar las formas de sumar 5 números que sumen 17 y otros 5 28 que por el teorema de backjuyter es igual a la cantidad de maneras de ordenar un tablero de ajedrez de 10 por 10 con fichas de 1.3. Y contando las posibilidades llegamos a que es igual a 228120 que es el resultado

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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Sab 09 Sep, 2017 9:53 am

¿Cómo es el enunciado completo de ese Teorema? (No me aparece en internet :mrgreen: )
$e^{i\pi}+1=0$
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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor 18dieciocho » Dom 10 Sep, 2017 6:54 pm

Correccion en la prueba me dio 285120. El teorema me lo enseño mi profesor RAMON CASTILLO

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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor Dauphineg » Dom 10 Sep, 2017 10:43 pm

18dieciocho escribió:Mi solución en la prueba=Podemos ver que el problema es equivalente a encontrar las formas de sumar 5 números que sumen 17 y otros 5 28 que por el teorema de backjuyter es igual a la cantidad de maneras de ordenar un tablero de ajedrez de 10 por 10 con fichas de 1.3. Y contando las posibilidades llegamos a que es igual a 228120 que es el resultado

¿que seria " ordenar un tablero de ajedrez de 10 por 10 con fichas de 1.3?
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Re: Regional 2017 N3 P1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 10 Sep, 2017 11:34 pm

18dieciocho escribió:El teorema me lo enseño mi profesor RAMON CASTILLO

Perfecto, pero ¿Qué dice el Teorema?, porque salvo que te lo haya contado para el caso particular que se dio en la prueba, tenés que conocer una versión más general del Teorema, ya que sino no hubieras podido usarlo.
$e^{i\pi}+1=0$
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