Regional 2017 N3 P2

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Matías V5

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Regional 2017 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 6:24 pm

En cada casilla de un tablero rectangular hay escrito un número entero. Las operaciones permitidas son:
  • Elegir una casilla en cada una de las filas y sumar [math] a cada uno de los números de las casillas seleccionadas.
  • Elegir una casilla en cada una de las columnas y restar [math] a cada uno de los números de las casillas seleccionadas.
Decidir si es posible, cualesquiera sean los números iniciales y mediante una cantidad finita de operaciones permitidas, obtener un tablero con todos ceros si las dimensiones del tablero son:
  • a) [math]
    b) [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Regional 2017 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 7:21 pm

a)
Spoiler: mostrar
Sea [math] la suma de los números del tablero, después de cada paso tenemos [math] o [math] (dependiendo de cómo miremos el tablero), sumamos en uno y restamos en el otro. Pero [math] y [math], luego la congruencia de la suma del tablero es invariante módulo [math]. Un tablero con todos ceros tiene suma [math], por lo tanto el objetivo sólo se puede lograr si la suma de los números del tablero es [math]. Es decir no puede lograrse para cualquier caso.
b)
Spoiler: mostrar
Un tablero de [math] tiene [math] filas y [math] columnas. Voy a mostrar un método con el que se puede llevar a cero todas las casillas del tablero sin importar sus valores originales.

Paso [math]: Seleccionamos los [math] números de la primera fila (uno por cada columna) y les restamos [math], realizamos esto hasta que todos los números de la fila sean negativos. Repetimos con cada una de las filas. De esta forma, todos los números del tablero son negativos.

Paso [math]:Seleccionamos [math] números en filas distintas y les restamos [math], luego seleccionamos [math] números en otras [math] filas distintas y les restamos [math] (hasta ahora le restamos [math] a [math] números en [math] filas distintas), por últimos seleccionamos esos mismos [math] números y un número más ([math] en total) y les sumamos [math]. Como a [math] de esos números les restamos y sumamos [math], se mantienen iguales que antes, y pudimos aumentar el otro número en [math], repitiendo este proceso el número llegará a [math] en una cantidad finita de veces. Por lo tanto, podemos llevar a [math] cualquier número que queramos sin modificar los demás. Luego, podemos llevar a [math] todos los números del tablero.


El procedimiento para un tablero de [math] filas y [math] columnas es análogo.


Por lo tanto puede lograrse para cualquier caso.
2  
[math]

sfreghy
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Re: Regional 2017 N3 P2

Mensaje sin leer por sfreghy » Jue 07 Sep, 2017 8:38 pm

buena

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