Regional 2017 N3 P2

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UNREAD_POSTpor Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 6:24 pm

En cada casilla de un tablero rectangular hay escrito un número entero. Las operaciones permitidas son:
  • Elegir una casilla en cada una de las filas y sumar $1$ a cada uno de los números de las casillas seleccionadas.
  • Elegir una casilla en cada una de las columnas y restar $1$ a cada uno de los números de las casillas seleccionadas.
Decidir si es posible, cualesquiera sean los números iniciales y mediante una cantidad finita de operaciones permitidas, obtener un tablero con todos ceros si las dimensiones del tablero son:
    a) $15 \times 20$
    b) $5 \times 11$.
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Matías V5
 
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Re: Regional 2017 N3 P2

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 7:21 pm

a)
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Sea $S$ la suma de los números del tablero, después de cada paso tenemos $S\pm 15$ o $S\pm 20$ (dependiendo de cómo miremos el tablero), sumamos en uno y restamos en el otro. Pero $S\pm 15\equiv S(5)$ y $S\pm 20\equiv S(5)$, luego la congruencia de la suma del tablero es invariante módulo $5$. Un tablero con todos ceros tiene suma $S=0\equiv 0(5)$, por lo tanto el objetivo sólo se puede lograr si la suma de los números del tablero es $S\equiv 0(5)$. Es decir no puede lograrse para cualquier caso.

b)
Spoiler: Mostrar
Un tablero de $5\times 11$ tiene $11$ filas y $5$ columnas. Voy a mostrar un método con el que se puede llevar a cero todas las casillas del tablero sin importar sus valores originales.

Paso $1$: Seleccionamos los $5$ números de la primera fila (uno por cada columna) y les restamos $1$, realizamos esto hasta que todos los números de la fila sean negativos. Repetimos con cada una de las filas. De esta forma, todos los números del tablero son negativos.

Paso $2$:Seleccionamos $5$ números en filas distintas y les restamos $1$, luego seleccionamos $5$ números en otras $5$ filas distintas y les restamos $1$ (hasta ahora le restamos $1$ a $10$ números en $10$ filas distintas), por últimos seleccionamos esos mismos $10$ números y un número más ($11$ en total) y les sumamos $1$. Como a $10$ de esos números les restamos y sumamos $1$, se mantienen iguales que antes, y pudimos aumentar el otro número en $1$, repitiendo este proceso el número llegará a $0$ en una cantidad finita de veces. Por lo tanto, podemos llevar a $0$ cualquier número que queramos sin modificar los demás. Luego, podemos llevar a $0$ todos los números del tablero.


El procedimiento para un tablero de $5$ filas y $11$ columnas es análogo.


Por lo tanto puede lograrse para cualquier caso.
$e^{i\pi}+1=0$

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Gianni De Rico
 
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Re: Regional 2017 N3 P2

UNREAD_POSTpor sfreghy » Jue 07 Sep, 2017 8:38 pm

buena

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sfreghy
 
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