Regional 2017 N3 P3

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UNREAD_POSTpor Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 6:27 pm

Sea $PQR$ un triángulo isósceles con $PQ=PR=3$ y $QR=2$. Sea $\omega$ la circunferencia que pasa por $P$, $Q$ y $R$. La recta tangente a $\omega$ por $Q$ corta a la recta $PR$ en $X$. Hallar la longitud del segmento $RX$.
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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor Juampi.espejo1 » Mié 06 Sep, 2017 6:50 pm

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a mí me dió 2,39

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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor DellaRocca » Mié 06 Sep, 2017 6:59 pm

Juampi.espejo1 escribió:
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a mí me dió 2,39


Me parece que lo hiciste con trigonometría. Me dio 12/5, o sea 2,4

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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor Matigelp97 » Mié 06 Sep, 2017 7:00 pm

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Llamamos al ángulo $Q\hat{P}R=2\alpha$. Como el triángulo $PQR$ es isósceles, $P\hat{Q}R=Q\hat{R}P=90-\alpha$. Por tangencia, $R\hat{Q}X=2\alpha$. Por suplementario, $Q\hat{R}X=90+\alpha$. Finalmente $Q\hat{X}R=90-3\alpha$. Notemos ahora que los triángulos $QRX$ y $PQX$ son semejantes. Por lo tanto se cumple:

$\frac{QX}{QR}=\frac{PX}{PQ}$

$\frac{QR}{RX}=\frac{PQ}{QX}$

Pero si tenemos en cuenta de que $PX=RX+3$, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones.

$3.QX=2.(RX+3)$
$2.QX=3.RX$

Resolviendo el sistema obtenemos finalmente: $RX=\frac{12}{5}$

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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor Juampi.espejo1 » Mié 06 Sep, 2017 7:12 pm

DellaRocca escribió:
Juampi.espejo1 escribió:
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a mí me dió 2,39


Me parece que lo hiciste con trigonometría. Me dio 12/5, o sea 2,4

Si lo hice con eso

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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 7:43 pm

Es con trigonometría básica, no pongo las cuentas acá.
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El $\triangle QPR$ es isósceles en $P$ ya que $PQ=PR=3$. Sea $M$ el punto medio de $QR$, entonces $QM=MR=1$, $Q\widehat PM=M\widehat PR$ y $PM\perp QR$. Como $\triangle PMR$ es rectángulo en $M$, $sen(M\widehat PR)=\frac{MR}{PR}=\frac{1}{3}$, entonces podemos calcular $M\widehat PR$, por lo que podemos saber $Q\widehat PR$ y por lo tanto $P\widehat RQ$ y entonces también sabemos $Q\widehat RX$. Por semiinscripto tenemos $X\widehat QR=Q\widehat PR$, que ya lo conocemos. Como conocemos dos ángulos de $\triangle QRX$ podemos conocer el tercero por suma de ángulos interiores de un triángulo.

Ahora por el Teorema del Seno $\frac{sen(R\widehat XQ)}{QR}=\frac{sen(X\widehat QR)}{XR}\Rightarrow XR=\frac{sen(X\widehat QR)}{sen(R\widehat XQ)}QR$, como conocemos los ángulos podemos conocer sus senos y además conocemos $QR$ por dato, entonces podemos resolver la ecuación.

Finalmente $RX=2,4$
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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 7:46 pm

Algo piola de este problema es que se podía resolver sin saber prácticamente nada de geometría, solamente con saber que el ángulo central es el doble que el inscripto en el mismo arco ya lo sacabas (era mucho más larga la solución, pero igual)
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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor FaC7oR » Mié 06 Sep, 2017 8:12 pm

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Por potencia de un punto

$QX^2=RX(RX+3)$

Aplicando Teorema de Stewart sobre $PQX$ con ceviana $QR$

$2^2(RX+3)=3QX^2+3^2RX-3RX(RX+3)$

Reemplazamos $QX^2$ por lo hallado al principio

$4(RX+3)=3RX(RX+3)+9RX-3RX(RX+3)$

$4RX+12=9RX$

$RX=\frac{12}{5}$ y estamos
$lim_{j\to \infty}\:\sum_{i=k}^{j} \left ( \frac{n}{m}\right )^i=\frac{n^k}{m^{k-1}(m-n)}\:\:\forall\:n<m$

$\sim Hertzbreaker$

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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 8:39 pm

Gianni De Rico escribió:Algo piola de este problema es que se podía resolver sin saber prácticamente nada de geometría, solamente con saber que el ángulo central es el doble que el inscripto en el mismo arco ya lo sacabas (era mucho más larga la solución, pero igual)

Desde cuando eso es "nada de geometría"? :D
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Re: Regional 2017 N3 P3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 9:04 pm

Creo que no se entendió bien lo que dije (culpa de mi redacción, je), me refiero a que podías saber una sola cosita y sacarlo (si bien todos los problemas mirados desde el lado correcto salen sabiendo dos cosas, en este no se necesitaba aplicar nada más, era sólo seguir sacando angulitos), igual no me parece que sea un conocimiento demasiado avanzado para un regional de Nivel 3.
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