Regional 2017 N3 P3

[Matías V5]

Sea [math]PQR un triángulo isósceles con [math]PQ=PR=3 y [math]QR=2. Sea [math]\omega la circunferencia que pasa por [math]P, [math]Q y [math]R. La recta tangente a [math]\omega por [math]Q corta a la recta [math]PR en [math]X. Hallar la longitud del segmento [math]RX.

[Juampi.espejo1]

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a mí me dió 2,39

[DellaRocca]

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a mí me dió 2,39

Me parece que lo hiciste con

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trigonometría.

Me dio

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12/5, o sea 2,4

[Monazo]

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Llamamos al ángulo [math]Q\hat{P}R=2\alpha. Como el triángulo [math]PQR es isósceles, [math]P\hat{Q}R=Q\hat{R}P=90-\alpha. Por tangencia, [math]R\hat{Q}X=2\alpha. Por suplementario, [math]Q\hat{R}X=90+\alpha. Finalmente [math]Q\hat{X}R=90-3\alpha. Notemos ahora que los triángulos [math]QRX y [math]PQX son semejantes. Por lo tanto se cumple:

[math]\frac{QX}{QR}=\frac{PX}{PQ}

[math]\frac{QR}{RX}=\frac{PQ}{QX}

Pero si tenemos en cuenta de que [math]PX=RX+3, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones.

[math]3.QX=2.(RX+3)
[math]2.QX=3.RX

Resolviendo el sistema obtenemos finalmente: [math]RX=\frac{12}{5}

[Juampi.espejo1]

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a mí me dió 2,39

Me parece que lo hiciste con trigonometría. Me dio 12/5, o sea 2,4

Si lo hice con eso

[Gianni De Rico]

Es con trigonometría básica, no pongo las cuentas acá.

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Regional 2017 N3 P3.png

El $\triangle QPR$ es isósceles en $P$ ya que $PQ=PR=3$. Sea $M$ el punto medio de $QR$, entonces $QM=MR=1$, $Q\widehat PM=M\widehat PR$ y $PM\perp QR$. Como $\triangle PMR$ es rectángulo en $M$, $\sin (M\widehat PR)=\frac{MR}{PR}=\frac{1}{3}$, entonces podemos calcular $M\widehat PR$, por lo que podemos saber $Q\widehat PR$ y por lo tanto $P\widehat RQ$ y entonces también sabemos $Q\widehat RX$. Por semiinscripto tenemos $X\widehat QR=Q\widehat PR$, que ya lo conocemos. Como conocemos dos ángulos de $\triangle QRX$ podemos conocer el tercero por suma de ángulos interiores de un triángulo.

Ahora por el Teorema del Seno $\frac{\sin (R\widehat XQ)}{QR}=\frac{\sin (X\widehat QR)}{XR}\Rightarrow XR=\frac{\sin (X\widehat QR)}{\sin (R\widehat XQ)}QR$, como conocemos los ángulos podemos conocer sus senos y además conocemos $QR$ por dato, entonces podemos resolver la ecuación.

Finalmente $RX=2,4$.

[Gianni De Rico]

Algo piola de este problema es que se podía resolver sin saber prácticamente nada de geometría, solamente con saber que el ángulo central es el doble que el inscripto en el mismo arco ya lo sacabas (era mucho más larga la solución, pero igual)

[FaC7oR]

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Por potencia de un punto

[math]QX^2=RX(RX+3)

Aplicando Teorema de Stewart sobre [math]PQX con ceviana [math]QR

[math]2^2(RX+3)=3QX^2+3^2RX-3RX(RX+3)

Reemplazamos [math]QX^2 por lo hallado al principio

[math]4(RX+3)=3RX(RX+3)+9RX-3RX(RX+3)

[math]4RX+12=9RX

[math]RX=\frac{12}{5} y estamos

[Matías V5]

Algo piola de este problema es que se podía resolver sin saber prácticamente nada de geometría, solamente con saber que el ángulo central es el doble que el inscripto en el mismo arco ya lo sacabas (era mucho más larga la solución, pero igual)

Desde cuando eso es "nada de geometría"?

[Gianni De Rico]

Creo que no se entendió bien lo que dije (culpa de mi redacción, je), me refiero a que podías saber una sola cosita y sacarlo (si bien todos los problemas mirados desde el lado correcto salen sabiendo dos cosas, en este no se necesitaba aplicar nada más, era sólo seguir sacando angulitos), igual no me parece que sea un conocimiento demasiado avanzado para un regional de Nivel 3.