Regional 2017 N3 P3

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 852
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico

Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 6:27 pm

Sea [math] un triángulo isósceles con [math] y [math]. Sea [math] la circunferencia que pasa por [math], [math] y [math]. La recta tangente a [math] por [math] corta a la recta [math] en [math]. Hallar la longitud del segmento [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Juampi.espejo1
Mensajes: 6
Registrado: Mié 14 Sep, 2016 6:48 pm
Nivel: 2

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Juampi.espejo1 » Mié 06 Sep, 2017 6:50 pm

Spoiler: mostrar
a mí me dió 2,39

DellaRocca
Mensajes: 1
Registrado: Mié 06 Sep, 2017 6:51 pm
Nivel: 3

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por DellaRocca » Mié 06 Sep, 2017 6:59 pm

Juampi.espejo1 escribió:
Spoiler: mostrar
a mí me dió 2,39
Me parece que lo hiciste con trigonometría. Me dio 12/5, o sea 2,4

Avatar de Usuario
Matigelp97

OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 21
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 1
Nivel: 3

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Matigelp97 » Mié 06 Sep, 2017 7:00 pm

Spoiler: mostrar
Llamamos al ángulo [math]. Como el triángulo [math] es isósceles, [math]. Por tangencia, [math]. Por suplementario, [math]. Finalmente [math]. Notemos ahora que los triángulos [math] y [math] son semejantes. Por lo tanto se cumple:

[math]

[math]

Pero si tenemos en cuenta de que [math], nos queda el siguiente sistema de ecuaciones.

[math]
[math]

Resolviendo el sistema obtenemos finalmente: [math]
1  

Juampi.espejo1
Mensajes: 6
Registrado: Mié 14 Sep, 2016 6:48 pm
Nivel: 2

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Juampi.espejo1 » Mié 06 Sep, 2017 7:12 pm

DellaRocca escribió:
Juampi.espejo1 escribió:
Spoiler: mostrar
a mí me dió 2,39
Me parece que lo hiciste con trigonometría. Me dio 12/5, o sea 2,4
Si lo hice con eso

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 418
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 7:43 pm

Es con trigonometría básica, no pongo las cuentas acá.
Spoiler: mostrar
El [math] es isósceles en [math] ya que [math]. Sea [math] el punto medio de [math], entonces [math], [math] y [math]. Como [math] es rectángulo en [math], [math], entonces podemos calcular [math], por lo que podemos saber [math] y por lo tanto [math] y entonces también sabemos [math]. Por semiinscripto tenemos [math], que ya lo conocemos. Como conocemos dos ángulos de [math] podemos conocer el tercero por suma de ángulos interiores de un triángulo.

Ahora por el Teorema del Seno [math], como conocemos los ángulos podemos conocer sus senos y además conocemos [math] por dato, entonces podemos resolver la ecuación.

Finalmente [math]
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 418
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 7:46 pm

Algo piola de este problema es que se podía resolver sin saber prácticamente nada de geometría, solamente con saber que el ángulo central es el doble que el inscripto en el mismo arco ya lo sacabas (era mucho más larga la solución, pero igual)
[math]

Avatar de Usuario
FaC7oR
Mensajes: 78
Registrado: Sab 17 May, 2014 7:43 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por FaC7oR » Mié 06 Sep, 2017 8:12 pm

Spoiler: mostrar
Por potencia de un punto

[math]

Aplicando Teorema de Stewart sobre [math] con ceviana [math]

[math]

Reemplazamos [math] por lo hallado al principio

[math]

[math]

[math] y estamos
2  
[math]

[math]

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 852
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 06 Sep, 2017 8:39 pm

Gianni De Rico escribió:Algo piola de este problema es que se podía resolver sin saber prácticamente nada de geometría, solamente con saber que el ángulo central es el doble que el inscripto en el mismo arco ya lo sacabas (era mucho más larga la solución, pero igual)
Desde cuando eso es "nada de geometría"? :D
1  
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 418
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: Regional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 06 Sep, 2017 9:04 pm

Creo que no se entendió bien lo que dije (culpa de mi redacción, je), me refiero a que podías saber una sola cosita y sacarlo (si bien todos los problemas mirados desde el lado correcto salen sabiendo dos cosas, en este no se necesitaba aplicar nada más, era sólo seguir sacando angulitos), igual no me parece que sea un conocimiento demasiado avanzado para un regional de Nivel 3.
[math]

Responder