Sea [math]n un entero positivo par. En un tablero de [math]n\times{n} se ubican los números del [math]1 al [math]n^2 de forma tal que en la [math]k-ésima fila se ubiquen los números del [math](k-1)n+1 hasta el [math]kn, de izquierda a derecha. Se colorean algunas casillas de forma tal que en cada fila y en cada columna la mitad de las casillas queden coloreadas. Probar que la suma de las casillas coloreadas es igual a la mitad de la suma de los números del tablero.
Pintemos el tablero como uno de ajedrez, entonces la suma de las casillas coloreadas es la mitad de la suma total del tablero.
Vamos a ver por qué esto es así:
Dividimos el tablero en subtableros disjuntos de [math]2\times 2 (lo podemos hacer porque [math]n es par) como se muestra en la figura
FOFO 7 años Problema 1 (1).png
En cada subtablero los números quedan de la siguiente forma:
FOFO 7 años Problema 1 (2).png
La suma de cada diagonal es [math]2x+n+1, entonces los números de la diagonal de cada tablero de [math]2\times 2 suman la mitad que lo que suman los números del tablero. Por lo tanto, como en una coloración de ajedrez se pintan del mismo color las casillas de la diagonal de un tablero de [math]2\times 2, la suma de todas las casillas coloreadas es la mitad de la suma de todos los subtableros de [math]2\times 2, es decir, la mitad de la suma de todo el tablero.
Ahora veamos que la suma es invariante.
Notemos que dada una coloración, si despintamos una casilla y pintamos una [math]l lugares hacia la derecha en la misma fila (haciendo que la casilla en la columna [math]c de esa fila quede despintada y la casilla en la columna [math]c+l de esa fila quede pintada), entonces tenemos que despintar una casilla de la columna [math]c+l de otra fila y pintar una en la columna [math]c de esa segunda fila. Si la casilla pintada de la primer fila tenía el valor [math]x, pasa a tener el valor [math]x+l, y la casilla pintada en la segunda fila pasa de tener el valor [math]y a tener el valor [math]y-l. Como [math]x+l+y-l=x+y, la suma no cambió. Análogamente ocurre si se despinta una casilla y se pinta otra a la izquierda en una misma fila, arriba o abajo en una misma columna. Entonces la suma de las casillas coloreadas es invariante.
Cualquier coloración puede obtenerse a partir de la de ajedrez de esta forma, entonces revirtiendo las operaciones podemos obtener la coloración de ajedrez desde cualquier coloración, se sigue que cualquier coloración puede obtenerse a partir de cualquier otra con este método. Como vimos que la suma es invariante y dimos una coloración en la que la suma es la mitad de la suma del tablero, resulta que siempre la suma de las casillas coloreadas es la mitad de la suma del tablero.
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Veamos que lo que queremos demostrar se reduce a ver que los números pintados y los números no pintados tienen la misma suma.
Para ver esto, notemos que al restarle una constante a todos los números de una fila o una columna, la diferencia entre la suma de los números coloreados y la suma de los números sin colorear se mantiene constante, ya que ambas sumas disminuyen por [math]\frac{n}{2} veces la constante.
Numerando entonces las filas del [math]1 al [math]n desde arriba hacia abajo, vamos a restarle [math](k-1)n a todos los números de la [math]k-ésima fila. Luego, demostrar lo pedido es equivalente a ver que en el tablero resultante tras hacer esto, la suma de los números coloreados es la misma que la suma de los números sin colorear.
Sin embargo, el tablero resultante tras hacer esto cumple que sus [math]n filas tienen los números del [math]1 al [math]n en orden de izquierda a derecha, y viendo las columnas, tenemos que en cada columna exactamente la mitad de los números están marcados, y al ser todos iguales, la suma de los números marcados en cada columna de este tablero es igual a la de los números sin colorear, por lo que en el tablero resultante se cumple lo pedido y en el tablero original también, lo que demuestra lo pedido.
Primero observemos que las casillas contienen números consecutivos, es decir que la primera fila contiene los números del 1 hasta [math]n, la segunda, desde [math]n-1 hasta [math]2n, y la última desde [math]n^2-[math]n+[math]1 hasta [math]n^2.
Por lo tanto, la suma de todas las casillas es [math]\frac{n^2(n^2+1)}{2}. Por lo tanto, lo que queremos que sumen las casillas pintadas es [math]\frac{n^2(n^2+1)}{4}=[math]\frac{n^4+n^2}{4}.
Ahora veamos que una casilla de fila [math]i y de columna [math]h tiene el valor de : [math]in-[math]n+[math]h
Si vamos cambiando de columna en una misma fila, lo que varía es lo que se le suma (en este caso puntual [math]h). Es decir que [math]in va a estar pintada exactamente [math]\frac{n}{2} veces.
Ahora si nos fijamos en la suma total de las casillas pintadas, la [math]i puede ser reemplazada con los números del 1 al [math]n, ya que estos son los valores de las filas. Por lo tanto, cada [math]in distinta va a aparecer exactamente [math]\frac{n}{2} veces en la suma de las casillas pintadas.
Vemos que el -n de la cuenta de cada casilla va a aparecer [math]\frac{n}{2} veces en cada fila, por lo tanto [math]\frac{n}{2}[math].n en la suma total.
Nosotros no podemos calcular cuánto se le va a sumar a esto en una sola fila, pero si lo hacemos de forma general, vemos que cada adicional (lo que en el ejemplo sería [math]h) va a aparecer exactamente[math]\frac{n}{2}veces, ya que es la cantidad de veces que se pinta la columna con ese número (en el caso particular, la cantidad de veces que se pinta [math]h).
Por lo tanto, la fórmula para contar todas las casillas pintadas sería: [math]\frac{n}{2}.[math]n.(1+2+3...+[math]n)-[math]n.[math]n.[math]\frac{n}{2}+[math]\frac{n}{2}.(1+2+3...+n)
Primero vemos que la suma de todos los números del tablero es [math]\frac{n^2(n^2+1)}{2}, entonces la mitad de su suma equivale a [math]\frac{n^2(n^2+1)}{4}=\frac{n^4+n^2}{4}[math](1)
Por otro lado, en la fila [math]i y columna [math]j de un tablero de [math]n de lado, con [math]n\geq i\geq 1 y [math]n\geq j\geq 1, se encuentra el número [math]n(i-1)+j.
Entonces imaginamos que en la casilla [math]i y columna [math]j de un tablero de [math]n x [math]n hay dos números, el número [math]n(i-1) y el [math]j.
Primero miramos el tablero en término de columnas y solo prestando atención al número [math]j que hay en cada una. Luego, como se pintan la mitad de las casillas, la suma del término [math]j de las casillas pintadas en una columna es igual a [math]\frac{n}{2}j. Entonces considerando todas las columnas la suma es [math]\sum_{j=1}^{n} \frac{n}{2}j=\frac{n}{2}\sum_{j=1}^{n} j=\frac{n}{2}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^3+n^2}{4}[math](2)
Ahora mirándolo en término de filas, nos focalizamos en el otro término que hay en cada una, es decir, [math]n(i-1). Entonces notamos que para una fila fija [math]i, se tiene que en cada una su valor es [math](i-1)n, y como se pintan la mitad de las mismas, el valor de la suma en la fila [math]i es [math]\frac{n}{2}(i-1)n. Entonces considerando todas las filas se tiene que la suma de esos términos es [math]\sum_{i=1}^{n} \frac{n}{2}(i-1)n=\frac{n^2}{2}\sum_{i=1}^{n} (i-1)=\frac{n^2}{2}\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^4-n^3}{4}[math](3).
Finalmente, como [math](1)=(2)+(3), la solución está completa
