FOFO 7 años Problema 3

Avatar de Usuario
AgusBarreto

OFO - Medalla de Bronce OFO - Jurado
Mensajes: 86
Registrado: Sab 15 Sep, 2012 6:28 pm
Medallas: 3
Nivel: Exolímpico
Ubicación: San Martín, Buenos Aires

FOFO 7 años Problema 3

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Vie 13 Oct, 2017 2:57 pm

Hallar todos los números primos [math] y [math] tales que
[math]

Avatar de Usuario
MateoCV

OFO - Medalla de Bronce FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2017 - Medalla
Mensajes: 182
Registrado: Vie 18 Dic, 2015 12:35 am
Medallas: 5
Nivel: 2
Ubicación: Córdoba

Re: FOFO 7 años Problema 3

Mensaje sin leer por MateoCV » Mar 17 Oct, 2017 10:44 am

Spoiler: mostrar
Si [math] entonces también [math] y [math] por lo que el lado derecho sería negativo, pero como [math] es positivo, esto nunca puede pasar. Luego [math] Si [math] fuera [math] o [math] entonces el lado derecho sería [math], lo que es imposible por ser [math]. Luego [math]. Si [math] entonces [math] y entonces [math] lo que es imposible. Luego [math].
Si [math] es par, significa que [math] es impar, por lo que [math] y [math] tienen distinta paridad, luego uno de [math] y [math] es [math], y como [math] entonces [math], pero entonces en la ecuación original queda [math], lo cual es imposible porque [math] es par ya que [math] era impar.
Luego [math] es impar. Sea [math] un primo tal que [math] luego [math] y como [math] entonces [math], entonces [math] Luego [math], pero esto es imposible ya que [math] (la última desigualdad se da porque [math] y [math]). Luego no existe un primo [math] tal que [math], y como era impar, el único primo que puede dividir a [math] es [math].
Si [math] entonces [math]. Como [math] entonces [math] Luego [math] pero esto contradice que [math] Luego [math] solo puede ser [math] o [math], pero si es [math] se contradice que [math]. Luego [math] y entonces [math] y [math]. Reemplazando esto en la ecuación original tenemos [math] y reemplazando esto en [math] tenemos [math] y así encontramos la única solución [math] que es claro que verifica
1  
[math] es primo

tomas6789

OFO - Mención
Mensajes: 7
Registrado: Sab 08 Oct, 2016 9:36 pm
Medallas: 1
Nivel: 3

Re: FOFO 7 años Problema 3

Mensaje sin leer por tomas6789 » Mar 17 Oct, 2017 10:49 am

P>3 porque sino p-q-2 sería negativo y 3(q+1) es positivo ahora vemos el caso particular de q=2 y vemos q es imposible para p entero, sabemos entonces q p-q es par.
Vemos que p-q-1/3q+3 y p-q-1/3p-3q-1 por lo que p-q-1/3p como p y 3 tienen que ser coprimos ya que p>3 y ambos son primos, p-q-1 tiene que ser 3.
Si p-q-1 = 3, p=11 q=7 siendo estos los únicos casos posibles para p y q primos

Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención FOFO 7 años - Medalla Especial
Mensajes: 323
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 2
Ubicación: Puerto Rico

Re: FOFO 7 años Problema 3

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 18 Oct, 2017 1:07 pm

Spoiler: mostrar
Dividimos ambos lados por [math] y obtenemos que [math], porque [math] es entero. Pero [math], de donde [math]. Como los divisores de [math] son [math], por ser [math] primo, tenemos cuatro casos.

En realidad hay uno más: cuando [math] es negativo. Pero si [math] es negativo, [math] tiene que ser negativo, pero esto solo sucede sii [math], ya que para cualquier valor mayor, [math] y para cualquier valor menos [math]. Pero si [math], [math] que implicaría [math], absurdo.

Caso [math]:
Se obtiene que [math], pero esto no puede ser porque implicaría [math]. Absurdo.

Caso [math]:
Se obtiene que [math]. Reemplazando en la ecuación original se obtiene que [math]. Por tanto, [math] es solución.

Caso [math]:
Se obtiene [math]. Absurdo.

Caso [math]:
Se obtiene [math]. Absurdo porque [math].

Por tanto, la única solución es [math].
1  
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

Responder