Si [math]p-q<0 entonces también [math]p-q-1<0 y [math]p-q-2<0 por lo que el lado derecho sería negativo, pero como [math]q es positivo, esto nunca puede pasar. Luego [math]p-q\geq 0 Si [math]p-q fuera [math]0, 1 o [math]2 entonces el lado derecho sería [math]0, lo que es imposible por ser [math]3(q+1)>0. Luego [math]p-q-2>0. Si [math]3\geq p entonces [math]1-q\geq p-q-2\geq 0 y entonces [math]1\geq q lo que es imposible. Luego [math]p\geq 5.
Si [math]p-q-1 es par, significa que [math]p-q es impar, por lo que [math]p y [math]q tienen distinta paridad, luego uno de [math]p y [math]q es [math]2, y como [math]p\geq 5 entonces [math]q=2, pero entonces en la ecuación original queda [math]9=(p-2)(p-3)(p-4), lo cual es imposible porque [math]p-3 es par ya que [math]p era impar.
Luego [math]p-q-1 es impar. Sea [math]r\geq 5 un primo tal que [math]r|p-q-1 luego [math]r|3(q+1) y como [math]r\geq 5 entonces [math]r|q+1, entonces [math]r|p-q-1+q+1=p Luego [math]r=p, pero esto es imposible ya que [math]p>p-q-1\geq r (la última desigualdad se da porque [math]r|p-q-1 y [math]p-q-1>0). Luego no existe un primo [math]r\geq 5 tal que [math]r|p-q-1, y como era impar, el único primo que puede dividir a [math]p-q-1 es [math]3.
Si [math]9|p-q-1 entonces [math]9|3(q+1)\Rightarrow 3|q+1. Como [math]3|p-q-1 entonces [math]3|p-q-1+q+1=p Luego [math]p=3 pero esto contradice que [math]p\geq 5 Luego [math]p-q-1 solo puede ser [math]1 o [math]3, pero si es [math]1 se contradice que [math]p-q-2>0. Luego [math]p-q-1=3 y entonces [math]p-q-2=2 y [math]p-q=4. Reemplazando esto en la ecuación original tenemos [math]3(q+1)=24\Rightarrow q+1=8 \Rightarrow q=7 y reemplazando esto en [math]p-q-1=3 tenemos [math]p-7-1=3\Rightarrow p=11 y así encontramos la única solución [math](p,q)=(11,7) que es claro que verifica
P>3 porque sino p-q-2 sería negativo y 3(q+1) es positivo ahora vemos el caso particular de q=2 y vemos q es imposible para p entero, sabemos entonces q p-q es par.
Vemos que p-q-1/3q+3 y p-q-1/3p-3q-1 por lo que p-q-1/3p como p y 3 tienen que ser coprimos ya que p>3 y ambos son primos, p-q-1 tiene que ser 3.
Si p-q-1 = 3, p=11 q=7 siendo estos los únicos casos posibles para p y q primos
Dividimos ambos lados por [math]p-q-1 y obtenemos que [math]p-q-1 \mid 3q+3, porque [math](p-q)(p-q-2) es entero. Pero [math]p-q-1 \mid 3q+3= 3(-p+q+1)+3p, de donde [math]p-q-1 \mid 3p. Como los divisores de [math]3p son [math]1,3,p,3p, por ser [math]p primo, tenemos cuatro casos.
En realidad hay uno más: cuando [math]p-q-1 es negativo. Pero si [math]p-q-1 es negativo, [math](p-q)(p-q-2) tiene que ser negativo, pero esto solo sucede sii [math]p-q=1, ya que para cualquier valor mayor, [math]p-q>p-q-2\geq 0 y para cualquier valor menos [math]0\geq p-q > p-q-2. Pero si [math]p-q=1, [math]p=q+1 que implicaría [math]3(q+1)=0, absurdo.
Caso [math]p-q-1=1:
Se obtiene que [math]p=q+2, pero esto no puede ser porque implicaría [math]3(q+1)=0 \Rightarrow q=-1. Absurdo.
Caso [math]p-q-1=3:
Se obtiene que [math]p=q+4. Reemplazando en la ecuación original se obtiene que [math]3(q+1)=4(3)(2)=24 \Rightarrow q=7. Por tanto, [math](p,q)=(7,11) es solución.
Caso [math]p-q-1=p:
Se obtiene [math]q=-1. Absurdo.
Caso [math]p-q-1=3p:
Se obtiene [math]q=-2p-1. Absurdo porque [math]q>0.
Por tanto, la única solución es [math](p,q)=(11,7).