FOFO 7 años Problema 5

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Fran5

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FOFO 7 años Problema 5

Mensaje sin leer por Fran5 »

Sean [math] enteros positivos. En un pizarrón esta escrita la expresión
[math]
Demostrar que se pueden borrar algunos términos del pizarrón (no todos), y cambiar algunos signos [math] por signos [math] de forma tal que la expresión resultante sea múltiplo de [math].
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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Gianni De Rico

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Re: FOFO 7 años Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Salvo que se aclare, nunca se modifican los signos.
Sean [math] los restos de [math] módulo [math], sea [math] un entero tal que [math].
Si [math] para algún [math] estamos, porque eliminamos todos los números del pizarrón salvo [math].
Supongamos entonces que [math]. Sea [math], como [math] tiene [math] elementos, entonces [math] tiene [math] posibles subconjuntos (cada número tiene [math] posibilidades, estar o no en el subconjunto), cada uno con una suma. Sea [math] el resto del valor absoluto de la suma de todos los elementos del conjunto [math] módulo [math]. Como [math], entonces por Palomar hay al menos dos subconjuntos diferentes [math] y [math] tales que [math].
Ahora, si [math] estamos, ya que podemos borrar todos los [math] y ponerle a cada elemento de [math] un signo [math], de forma que la suma será [math]. Como estamos viendo el resto módulo [math], esto significa que la suma es múltiplo de [math].
Si [math] entonces borramos todos los elementos de [math], quedándonos con los subconjuntos [math] y [math] (que claramente son disjuntos, ya que borramos todos los elementos que [math] y [math] tenían en común), y estamos en el caso anterior, ya que [math] y [math].

Queda demostrado que siempre se puede lograr lo pedido.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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