Rioplatense 2017 - N1 P3

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ésta

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Rioplatense 2017 - N1 P3

Mensaje sin leer por ésta » Vie 08 Dic, 2017 5:42 pm

Se tiene un triángulo equilátero $T$ de lado $\ell$, con $\ell$ un número real positivo.
Se dividió el triángulo $T$ en $23$ triángulos equiláteros. Cada uno de estos triángulos tiene sus lados paralelos a los lados de $T$, y entre ellos hay $16$ que tienen lado $1$, $6$ que tienen lado $2$ y uno que tiene lado $a$ ($a\neq 1$, $a\neq 2$).
Determinar todos los valores posibles de $\ell$ y $a$.
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jhn

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Re: Rioplatense 2017 - N1 P3

Mensaje sin leer por jhn » Jue 04 Ene, 2018 7:15 am

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Como al menos un lado de $T$ es disjunto con el triángulito de lado $a$, $\ell$ es suma de números 1 y 2 y por tanto es entero. Además sumando áreas se tiene que $\ell^2=16\cdot 1^2+6\cdot 2^2+a^2=40+a^2$, de donde $a$ o es entero o es un irracional cuadrático. Pero es fácil ver que se puede construir una poligonal que va desde un vértice $A$ de $T$ a otro $B$, cuyos lados son lados de triangulitos, siendo uno de ellos el de longitud $a$ y paralelo a $AB$. Proyectando esa poligonal sobre $AB$ resulta que $a+k/2= \ell$ para algún entero $k$, de donde $a$ es racional y por lo dicho antes es entero. Sólo queda resolver en enteros positivos la ecuación $\ell^2=a^2+40$, es decir $(\ell-a)(\ell+a)=40$. $\ell-a$ y $\ell+a$ deben ser divisores positivos de 40 y de la misma paridad, es decir 2 y 20 o 4 y 10, de donde sale que $(\ell,a)$ aólo puede ser (11,9) ó (7,3). Y es fácil comprobar que para estos valores la división de $T$ efectivamente se puede realizar.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
www.jhnieto.org

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